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《用空间向量的方法解立体几何ppt课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、热点考向1利用空间向量证明空间线面关系【例1】(2011·南昌模拟)如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点，，M是线段B1D1的中点.(1)求证：BM∥平面D1AC;(2)求证：D1O⊥平面AB1C.【解题指导】可利用线面平行、线面垂直的判定定理证明，也可建立空间直角坐标系，利用向量法解决.【规范解答】方法一：(1)∵O、M分别是BD、B1D1的中点，四边形B1D1DB是矩形，∴四边形D1OBM是平行四边形，∴D1O∥BM,∵D1O⊂平面D1AC,BM平面D1AC,∴BM∥平面D1AC.(2
2、)连接OB1.∵正方形ABCD的边长为2，∴OB1=D1O=2,∴OB12+D1O2=B1D12,∴OB1⊥D1O.∵在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AC⊥BD,AC⊥D1D,且BD∩D1D=D,∴AC⊥平面BDD1B1,又D1O⊂平面BDD1B1,∴AC⊥D1O.又AC∩OB1=O,∴D1O⊥平面AB1C.方法二：(1)建立如图所示的空间直角坐标系.则点O(1,1,0),B(2,2,0),∴∴又OD1与BM不共线，∴OD1∥BM.又D1O⊂平面D1AC,BM平面D1AC,∴BM∥平面D1AC.(2)连接OB1,∵A(2,0,0),C(0,2,
3、0),∴∴∴即OD1⊥OB1,OD1⊥AC,又OB1∩AC=O,∴D1O⊥平面AB1C.向量法证明线面位置关系的常用依据：设直线l，m的方向向量分别为平面α、β的法向量分别为(1)线线平行：(2)线线垂直：(3)线面平行：(4)线面垂直：(5)面面平行：(6)面面垂直：如图，正方形ABCD所在的平面与四边形ABEF所在的平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB=AE,FA=FE,∠AEF=45°.(1)求证：EF⊥平面BCE;(2)设线段CD、AE的中点分别为P、M，求证：PM∥平面BCE.【证明】∵△ABE是等腰直角三角形，AB=AE,∴AE⊥
4、AB，∵平面ABEF⊥平面ABCD于AB,∴AE⊥平面ABCD，∴AE⊥AD,即AD、AB、AE两两垂直，建立如图空间直角坐标系.(1)设AB=1,则AD=AE=1,B(0,1,0),D(1,0,0),E(0,0,1),C(1,1,0),∵FA=FE,∠AEF=45°,∴∠AFE=90°,从而于是∴EF⊥BE,EF⊥BC,∵BE⊂平面BCE,BC⊂平面BCE,BC∩BE=B,∴EF⊥平面BCE.(2)从而于是∴PM⊥EF,又EF⊥平面BCE，直线PM不在平面BCE内，故PM∥平面BCE.热点考向2利用空间向量求空间角【例2】(12分)(2011·山东
5、高考)在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ACB=90°,EA⊥平面ABCD，EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC,AB=2EF.(1)若M是线段AD的中点，求证：GM∥平面ABFE;(2)若AC=BC=2AE,求二面角A-BF-C的大小.【解题指导】根据题目条件中给出的线线平行关系，可以证明四边形FGMA是平行四边形，根据线面平行的判定定理即证；根据给出的垂直关系，我们可以以点A为坐标原点，以AC、AD、AE所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，应用空间向量的方法解决.【规范解答】(1)方法一：因为EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC,∠
6、ACB=90°,所以∠EGF=90°,△ABC∽△EFG.由于AB=2EF,因此BC=2FG.……………………………………2分连接AF,由于FG∥BC,在□ABCD中，M是线段AD的中点，则AM∥BC,且因此FG∥AM且FG=AM,所以四边形FGMA为平行四边形，因此GM∥FA.……………4分又FA⊂平面ABFE,GM平面ABFE,所以GM∥平面ABFE.…………………………………………6分方法二：因为EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC,∠ACB=90°,所以∠EGF=90°,△ABC∽△EFG,由于AB=2EF,所以BC=2FG.………………………
7、…………2分取BC的中点N，连接GN,因此四边形BNGF为平行四边形，所以GN∥FB.在□ABCD中，M是线段AD的中点，连接MN,则MN∥AB.…………………………………………4分因为MN∩GN=N,AB∩FB=B,所以平面GMN∥平面ABFE.又GM⊂平面GMN,所以GM∥平面ABFE.………………………6分(2)方法一：因为∠ACB=90°,所以∠CAD=90°,又EA⊥平面ABCD，所以AC,AD,AE两两垂直.……………………………………7分分别以AC,AD,AE所在直线为x轴、y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设AC=BC=2
8、AE=2,则由题意得A(0,0,0),B(2,-2,0),C(2,0,0),E(0,0,1),所以又所以F(
