椭圆知识点和例题.doc

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1、2.2.1《椭圆及其标准方程》1.椭圆的定义．把平面内与两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆（ellipse）．其中这两个定点叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距．即当动点设为时，椭圆即为点集．2.椭圆标准方程:焦点在轴上，中心在原点的椭圆的标准方程．例1已知椭圆两个焦点的坐标分别是，，并且经过点，求它的标准方程。分析：由椭圆的标准方程的定义及给出的条件，容易求出．引导学生用其他方法来解。解：设椭圆的标准方程为，因点在椭圆上，则。例2如图，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂

2、足．当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是什么？分析：点在圆上运动，由点移动引起点的运动，则称点是点的伴随点，因点为线段的中点，则点的坐标可由点来表示，从而能求点的轨迹方程。解：设，；∵为线段的中点，∴；∵，∴点的轨迹方程为；例3如图，设，的坐标分别为，．直线，相交于点，且它们的斜率之积为，求点的轨迹方程。分析：若设点，则直线，的斜率就可以用含的式子表示，由于直线，的斜率之积是，因此，可以求出之间的关系式，即得到点的轨迹方程。解：设点，则，；代入点的集合有，化简即可得点的轨迹方程。为：。课堂小结1.能用数

3、学符号或自然语言的描述椭圆的定义；2.能正确且直观地绘作图形，反过来根据图形能用数学术语和数学符号表示；3.正确推导椭圆的标准方程，理解椭圆的焦点位置和图形的对应关系。拓展提升1．如果方程表示焦点在y轴的椭圆，那么实数m的取值范围是（）A．（0，+）B．（0，2）C．（1，+）D．（0，1）2．若椭圆过点（－2，），则其焦距为（）A.2B.2C.4D.43．设F是椭圆的一个焦点，椭圆上至少有21个点P1，P2，P3，…，P21，使得数列{PiF}(i=1,2,…,21)成公差为d的等差数列，则d的一个

4、可取值是（）A．B．－C．D．－6．已知AB是过椭圆左焦点F1的弦，且

5、AF2

6、＋

7、BF2

8、=4，其中F2为椭圆的右焦点，则弦AB的长是。7．已知△ABC的顶点B、C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是。8.已知F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆内一点M的坐标为（2，－6），P为椭圆上的一个动点，试求

9、PM

10、＋

11、PF2

12、的取值范围。参考答案1．D【解析】距离之和恰好等于两定点间的距离。2．C【解析】运用离心率的计算公式。3．C【解析】用椭圆定义．4．D

13、【解析】将方程化成标准形式．5．C【解析】将点的坐标代入，求b．6．D【解析】考虑特殊情况．7．4【解析】用椭圆定义．8.解：由椭圆的定义知

14、PF2

15、+

16、PF1

17、=2a=20，故

18、PM

19、+

20、PF2

21、=

22、PM

23、-

24、PF1

25、+201˚

26、PM

27、-

28、PF1

29、≤

30、MF1

31、=10，故

32、PM

33、+

34、PF2

35、≤30（当且仅当P为有向线段的延长线与椭圆的交点时取“=”）；2˚

36、PF1

37、-

38、PM

39、≤

40、MF1

41、=10，故

42、PM

43、+

44、PF2

45、=20-（

46、PF1

47、-

48、PM

49、）≥10（当且仅当P为有向线段的反向延长线与椭圆的交点时取

50、“=”）综上可知，

51、PM

52、+

53、PF2

54、的取值范围为[10，30]。2.2.2《椭圆的简单几何性质》新授课阶段1.椭圆的简单几何性质①范围：由椭圆的标准方程可得，，进一步得：，同理可得：，即椭圆位于直线和所围成的矩形框图里；②对称性：由以代，以代和代，且以代这三个方面来研究椭圆的标准方程发生变化没有，从而得到椭圆是以轴和轴为对称轴，原点为对称中心；③顶点：先给出圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此椭圆有四个顶点，由于椭圆的对称轴有长短之分，较长的对称轴叫做长

55、轴，较短的叫做短轴；④离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率（），；．2.椭圆性质的运用例1求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．分析：由椭圆的方程化为标准方程，容易求出．引导学生用椭圆的长轴、短轴、离心率、焦点和顶点的定义即可求相关量．解：依题意，，但椭圆的焦点位置没有确定，应分类讨论：①当焦点在轴上，即时，有，∴，得；②当焦点在轴上，即时，有，∴．例2过椭圆C：上一点P引圆O：的两条切线PA、PB，切点为A、B，直线AB与x轴、y轴分别相交于M、N两点.（1）设，且，求直线AB的

56、方程；（2）若椭圆C的短轴长为8，且，求此椭圆的方程；（3）试问椭圆C上是否存在满足·=0的点P，说明理由．解：（1）直线AB的方程：;（2）椭圆C的方程：;（3）假设存在点满足·=0，连结OA、OB，由

57、PA

58、=

59、PB

60、，知四边形PAOB为正方形，

61、OP

62、=

63、OA

64、,∴.①又P在椭圆上,∴.②由①②得，.∵,∴.∴当即时，椭圆C上存在点P满足题设条件；当即时，椭圆C上不存在满足题设的点P.课堂小结1.掌握椭圆的简单几何性质；2.能由椭圆的