2015（梁志斌）几何变形学生版.doc

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1、专题六几何变换与应用东北育才学校彭玲一．知识要点1．合同变换保持两点距离不变的平面几何变换称为合同变换。在合同变换下，共线点变为共线点，共点线变为共点线，射线变为射线，角变为相等的角，三角形变为与其全等的三角形。即：合同变换下不改变图形的形状和大小，只改变其位置。合同变换有：平移、反射和对称三种形式。2．平移变换把图形G中的每一点沿着同一方向移动相同的距离，得到图形，从图形G到图形的变换叫做平移变换。其中叫做平移向量。记作。性质1平移变换下的两组对应点构成一个平行四边形；性质2平移变换把任意图形变换成与它全等的图形。3．反射

2、变换给定平面上的一条直线l，从这个平面上的点到关于对称轴l的对称点的变换叫做反射变换（或叫做对称变换）。记作。性质1对称轴是任一对对应点的连线段的垂直平分线；性质2反射变换把任意图形变换成与它全等的图形。4．旋转变换将图形G中的每一点绕同一定点O按同一方向（逆时针或顺时针）旋转同一大小的角度后得到图形，从图形G到图形的变换叫做旋转变换。其中O点叫做旋转中心，叫做旋转角。这种变换简记为。性质1旋转变换保持线段的长度和角度的大小均不变；性质2旋转变换把任意图形变换成与它全等的图形。5．相似变换一个平面上的点到自身的变换，如果对于

3、平面上任意两点A、B，以及对应点A’、B’，总有（k为正实数），那么这个变换叫做相似变换。其中k叫做相似比，相似比为k的相似变换记作H（k）。性质1在相似变换下，共线点对应共线点，射线对应射线，角对应角；性质2相似变换保持三点的单比不变，即若，则；性质3相似变换保持两直线夹角的大小不变；性质4相似变换把一个图形变为与它相似的图形。6．位似变换设O是平面上一定点，H是平面上的变换。若对任一对对应点P、P’都有（k为非零实数），则称H为位似变换。记为H（O，k），其中O叫做位似中心，K叫做位似比。（1）位似变换是相似变换的一种特

4、殊形式。（2）定义中的条件“”等价于如下三个条件：①O、P、P’三点共线；②；③当时，P、P’在点O的同侧，当时，P、P’在点O的异侧。（3）在位似变换下，任何一条不过位似中心的直线变成与它平行的直线；过位似中心的直线是不变的直线；对应线段之比相等；对应角相等且转向相同。7.反演变换设是平面上的一个定点，是一个非零常数，如果平面的一个变换，使得对于平面上任意异于的点与其像点，恒有（1）共线；（2）则这个变换称为平面的一个反演变换，记作，其中定点称为反演中心，常数称为反演幂，点称为的反点。性质1.在反演变换下，不共线的两对互反

5、点共圆。性质2.在反演变换下，，有。性质3.在反演变换下，过反演中心的直线不变，不过反演中心的直线的反形是过反演中心的圆，过反演中心的圆的反形是不过反演中心的直线，不过反演中心的圆的反形是不过反演中心的圆。性质4.在反演变换下，两条曲线在交点处的交角大小不变，方向相反。二．范例选讲例1（2004年俄罗斯数学奥林匹克）点M位于平行四边形ABCD内部，点N位于内部，使得。求证：MN∥AB。例2如图，在中，，，P、Q为边AB上的两点，且。求证：。例3（2004年克罗地亚数学竞赛）已知点A、B、C在某平面上，设D、E、F、G、H、I

6、是同一平面上的点，且使得为正定向等边三角形。求证：点E是线段AI的中点。例4（2003德国国家数学奥林匹克）如图，在的内部有四个半径相等的，其中均与的两条边相切，且与外切。求证：的内心、外心和在一条直线上。例5（2004年希腊数学奥林匹克）已知的半径为r，A为圆外一点，过点A作直线l（与AO不同），交于点B、C，且B在A、C之间，作直线l关于AO的对称直线交于点D、E，且E在A、D之间。求证：四边形BCDE两条对角线的交点为定点，即该交点不依赖于直线l的位置。例6（2004年中国台湾数学奥林匹克）设O、H分别是锐角的外心、垂

7、心，的角平分线交的外接圆于点D，点D关于直线BC的对称点为E，关于点O的对称点为F。如果AE与FH交于点G，BC的中点为M。求证：。例7在中，，，N为形内一点，，。求的度数。例8已知：在四边形ABCD中，。求证：。例9（第44届IMO预选题）在等腰中，，I为其内心。设P是的外接圆在内部的圆弧上一点，过P分别平行于CA和CB的直线交AB于点D和E，过P平行于AB的直线交CA于点F、交CB于点G。求证：直线DF与直线EG的交点在的外接圆上。例10（2004年俄罗斯数学奥林匹克）已知和相交于A、B，由点A分别向和作切线。点分别位于

8、和上，且。上过点的切线与相交于点，上过点的切线与相交于点。求证：线段的中点位于一条不依赖于点位置的直线上。例11.圆内接四边形ABCD内有一点P满足∠APD=∠ABP+∠DCP．P在AB,BC,CD上射影为E、F、G．证明△EFG∽△APD．例12.双心四边形ABCD，AC∩BD=E，内、