能带理论(陈长乐).ppt

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1、第四章能带理论目录4.1能带理论基本假定4.2　布洛赫定理4.3　周期势场中单电子状态的一般属性4.4　近自由电子近似4.5　紧束缚近似4.1能带理论基本假定在金属自由电子模型中讨论了电子的行为，解释了金属的导电、导热和电子比热等现象，但是，模型中完全忽略了晶体周期性势场的存在和作用，过于简单化，不能解释如：导体、半导体和绝缘体等基本问题。在晶体周期性势场中运动的电子，将表现出许多新特点，如：电子波函数为调幅平面波，电子能量本征值在一定能量范围内准连续分布，并构成能带，二个能带间存在间隙，称为能隙。固体能带理论是目前研究晶体中电子状态，阐明晶体性质的最重要的基础理论。一个严格的固体理论，应求解

2、下述多粒子体系的薛定鄂方程的本征函数和本征值：第一和第二项为动能项对电子坐标i和原子核坐标求和，第三项是电子间库仑作用势，0和r分别为真空介电常数和固体相对介电常数，第四项是原子核间相互作用势，第五项是电子与原子核间相互作用势能。方程严格求解不可能，必须简化。固体能带理论是近似理论。4.1能带理论基本假定4.1.1绝热近似因为，m<>V，电子速度远大于原子核速度，在考察电子在有限时间内的行为，可以近似视原子核不动。另外，通常影响晶体性能的主要是价电子，而且，晶体中状态发生变化的电子主要也是价电子，因此，可以把内层电子和原子核看成一个离子实，价

3、电子在固定的离子实的势场中运动。由此，原子核(离子实)动能项近似取为零；并适当选择势能零点，使原子核间相互作用势为零，即：4.1能带理论基本假定由此，固体电子系统的薛定鄂方程为：这种把电子系统与原子核(离子实)分开处理的方法称为绝热近似。上述方程虽然经过简化，但仍然是多电子体系的薛定鄂方程，精确求解仍然非常困难。因为，所有电子的状态都是相互关联的，任一电子的状态不仅与自身位置有关，而且和所有其它电子位置有关。4.1能带理论基本假定4.1.1绝热近似引入其为所有其它电子对电子i的平均作用势，只是ri的函数，使得：引入其为所有离子实对电子i的平均作用势，只是ri的函数，使得：以上近似使得每个电子处

4、在相同的势场中，这一势场就是所有电子和所有核的平均势场，与电子i以外的其它电子的所有核的位置无关。4.1能带理论基本假定4.1.2平均场近似进一步简化下列方程将，和多电子系统的哈密顿量化简为单电子的哈密顿量之和。4.1能带理论基本假定4.1.2平均场近似得到代入由于所有电子都满足同样的薛定鄂方程，可以忽略下标i。由此解出E，(r)，它们分别为单电子的能量和波函数，系统的能量为单电子能量之和。一个多电子体系的薛定鄂方程求解化简为一个单电子的薛定鄂方程求解问题。以上绝热近似和平均场近似，也称为单电子近似。4.1能带理论基本假定4.1.2平均场近似通过以上简化，得到如下结果：进一步考察单电子的哈密

5、顿量式中的势能项为其中，是所有处在格点上的离子实的平均作用势，它应当具有与晶格相同的平移周期性；其中，代表所有其它价电子对电子的平均作用势，可以假定为一个均匀背景；因此，做如下周期势场假定：4.1能带理论基本假定4.1.3周期势场假定综上所述，在单电子近似和晶格周期势场假定下，一个多电子体系问题，被简化成一个在晶格周期势场V(r)中的单电子的定态问题：Rn为晶格周期性平移矢量。这种建立在单电子近似基础上的固体电子理论----称为能带理论。4.1能带理论基本假定式中，4.2周期场中单电子状态的一般属性4.2.1布洛赫定理本节中不考虑周期性势场V(r)的具体形式，仅从V(r)的周期性出发，一般性地

6、讨论在晶格周期性势场中运动的单电子的波函数和能量所具有的属性。布洛赫1928年首先证明了，在晶体周期性势场中运动的单电子，其定态薛定鄂方程的解(波函数)所具有的形式(波函数一般属性)，是以晶格为周期调幅的平面波。这个论断，被称为布洛赫定理。布洛赫定理是固体能带结构的重要理论。布洛赫定理表述：在单电子近似下，如果电子的势场V(r)是以晶格为周期的函数，式中，Rn为晶格周期性平移矢量，的本征函数(r)具有调幅平面波的形式：其中是以晶格为周期的函数,即：,k是一个实矢量，称为布洛赫波，称由描述的电子为布洛赫电子。4.2周期场中单电子状态的一般属性4.2.1布洛赫定理则，薛定鄂方程即：布洛赫定理证明

7、：4.2周期场中单电子状态的一般属性4.2.1布洛赫定理即证明周期势场中电子薛定鄂方程(哈密顿算符)本征函数的特征，我们将引入平移算符，证明平移算符-哈密顿算符对易，导出并考察平移算符本征函数的特征。布洛赫定理证明：4.2周期场中单电子状态的一般属性4.2.1布洛赫定理布洛赫定理证明：4.2周期场中单电子状态的一般属性4.2.1布洛赫定理布洛赫定理证明：4.2周期场中单电子状态的一般属性4.2.1