空间解析几何ppt课件.ppt

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1、大学数学微积分第1章空间解析几何1.1向量及其线性运算1.1.1向量概念向量:既有大小,又有方向的量,称为向量.(或矢量)2.向量的几何表示法:用一条有方向的线段来表示向量.以线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.AB向量AB的大小叫做向量的模.记为模为1的向量称为单位向量.模为0的向量称为零向量，它的方向可以看作是任意的.特别3.自由向量自由向量:只有大小、方向,而无特定起点的向量.具有在空间中可以任意平移的性质.大小相等且方向相同,向量的平行：如果两个非零向量的方向相同或者相反，则称这两个向量平行。向量的相等：1.1.2向量的线性运算1.向量加法(1)平行四边形法

2、则设有(若起点不重合,可平移至重合).作以为邻边的平行四边形,对角线向量,称为的和,记作(2)三角形法则将之一平行移动,使的起点与的终点重合,则由的起点到的终点所引的向量为向量加法的运算规律.(1)交换律:(2)结合律:例如:2.向量减法.(1)负向量:与模相同而方向相反的向量,称为的负向量.记作(2)向量减法.规定:（a）平行四边形法则.将之一平移,使起点重合,作以为邻边的平行四边形,对角线向量,为（b）三角形法则.将之一平移,使起点重合,由的终点向的终点作一向量,即为3.数与向量的乘法定义:实数与向量的为一个向量.其中:当>0时,当<0时,当=0时,数与向量的乘积的运算规律

3、:(1)结合律:(2)分配律:(<0)(>0)结论:设表示与非零向量同向的单位向量.则或定理1.1:两个非零向量平行存在唯一实数，使得例1.1:在平行四边形ABCD中,设AB=,AD=试用表示向量MA,MB,MC,和MD.其中,M是平行四边形对角线的交点.解:=AC=2MC有MC=又=BD=2MD有MD=MB=MDMA=MCDABCM1.2.1空间直角坐标系1.空间直角坐标系ozxyzxyx轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)组成了一个空间直角坐标系,又称笛卡尔(Descartes)坐标系，点O叫做坐标原点.o1.2空间直角坐标系及向量的坐标表示2.坐标面.由三条坐标轴的任

4、意两条确定的平面,称为坐标面,分别叫xy面.yz面、zx面,它们将空间分成八个卦限.zIVVIVVII0xyVIIIIIIIII3.点在空间直角坐标系中的坐标表示.RQP(x,y,z)记:点M为M(x,y,z)OxyzMxyz(1)若点M在yz面上,则x=0;在zx面上,则y=0;在xy面上,则z=0.(2)若点M在x轴上,则y=z=0在y轴上,则x=z=0在z轴上,则x=y=0特别:4.空间向量的坐标表示(1).起点在原点的向量OM设点M(x,y,z)以i,j,k分别表示沿x,y,z轴正向的单位向量,称为基本单位向量.OM=OA+AN+NM=OA+OB+OC=xi+yj+zkx

5、,y,z,分别是OM在三坐标轴上的投影,称为OM的坐标.zijkMoxyCABzyxN简记为OM=(x,y,z)称为向量OM的坐标表示式.zijkMoxyCABzyxN由于：从而：(2.1)(2).起点不在原点O的任一向量a=M1M2设点M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2)a=M1M2=OM2OM1=(x2i+y2j+z2k)(x1i+y1j+z1k)=(x2x1)i+(y2y1)j+(z2z1)k即a=(x2x1,y2y1,z2z1)为向量a的坐标表示式记ax=x2x1,ay=y2y1,az=z2z1分别为向量a在三个坐标轴上的投影,称为a的坐标.

6、zxyM1M2aoa=M1M2=(x2x1,y2y1,z2z1)(2.2)两点间距离公式：(2.3)由此得1.2.2利用坐标作向量的线性运算设a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),且为常数ab=(axbx,ayby,azbz)a=(ax,ay,az)证明:a+b=(axi+ayj+azk)+(bxi+byj+bzk)=(axi+bxi)+(ayj+byj)+(azk+bzk)=(ax+bx)i+(ay+by)j+(az+bz)ka+b=(ax+bx,ay+by,az+bz)两向量平行的充要条件.设非零向量a=(ax,ay,az),b=(bx

7、,by,bz),即ax=bx,ay=by,az=bz,于是注:在(*)式中,规定若某个分母为零相应的分子也为零.a//b(*)a//ba=b则(为常数)例如：(4,0,6)//(2,0,3)例1.4已知两点A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)以及实数λ≠-1,在直线AB上求点M,使因此从而以的坐标(即点A点B的坐标)代入,即得MAzxoyB解例1.5:在z轴上求与两点A(4,1,7)和B(3,5,2)等距离的点.解:设该