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1、优化设计第五章优化设计传统机械设计中，存在选优的思想，受时间、条件的限制，计算机应用前用数学极小化处理简单问题。随着1946年第一台计算机问世，传统设计转化为优化设计方法。优化设计是以数学规划理论为基础，以计算机为工具优选设计参数的一种现代设计方法。5.1优化设计的数学模型下面举例说明：用薄钢板制造一体积为5m3，长度不小于4m不带上盖的货箱，要求该货箱的钢板耗费量最小，试确定货箱的长X1，宽X2，高X3。X2X1X3解：钢板的耗费量与货箱的表面积成正比，优化设计的目标是钢板的耗费量最少，即货箱的表面积S最小，不带盖的货箱
2、表面积S=X1*X2+2(X2*X3+X1*X3)S是X1、X2和X3的函数，称为目标函数。参数X1、X2和X3称为设计变量。优化设计就是恰当地选择这些参数(设计变量)，使货箱表面积S(目标函数)达到最小。选择这些参数受到货箱体积和长、宽、高限制：X1*X2*X3=5，X1≥4,X2≥0,X3≥0以上限制设计变量X1,X2,X3的表达式，称为约束条件。例:直齿圆柱齿轮副的优化设计已知：传动比i,转速n,传动功率P，大小齿轮的材料，设计该齿轮副，使其重量最轻。分析：(1)圆柱齿轮的体积(V)与重量(W)的表达；(2)设计参数
3、确定：模数(m)，齿宽(b)，齿数(z)。(3)设计约束条件：(a)大齿轮满足弯曲强度要求；(b)小齿轮满足弯曲强度要求；(c)齿轮副满足接触疲劳强度要求；(d)齿宽系数要求；(e)最小齿数要求。例问题的数学表达设计变量：x=[mzb]T设计目标：minW=rpb[(mz)2+(miz)2]/4约束条件：g1(x)=sF1–[s]F1≤0g2(x)=sF2–[s]F2≤0g3(x)=sH–[s]H1≤0g4(x)=b–1.2mz≤0g5(x)=17–z≤0建立优化设计问题的数学模型步骤1)根据设计要求，应用专业范围内的现行
4、理论和经验等，对优化对象进行分析。必要时，需要对传统设计中的公式进行改进，并尽可以反映该专业范围内的现代技术进步的成果。2)对结构诸参数进行分析，以确定设计的原始参数、设计常数和设计变量3)根据设计要求，确定并构造目标函数和相应的约束条件，有时要构造多目标函数4)必要时对数学模型进行规范化，以消除诸组成项间由于量纲不同等原因导致的数量悬殊的影响5.1.1.数学模型的一般形式：优化设计的数学模型由设计变量、目标函数和约束条件三部分组成。统一形式：求变量：x1,x2,…,xn使极小化函数：f(x1,x2,…,xn)满足约束条件
5、：gu(x1,x2,…,xn)≤0(u=1,2,…,m)……不等式约束条件hv(x1,x2,…,xn)=0(v=1,2,…,p)……等式约束条件设计变量可用向量表示：X=[x1,x2,…,xn]TX∈Rn向量X属于n维实欧氏空间s.t.(subjectto)表示“满足于”。优化设计的数学模型可表达为如下的标准形式：minf(X)X∈Rns.t.gu(X)≤0(u=1,2,…,m)hv(X)=0(v=1,2,…,p)求极大时将目标函数写为−f(X)即可。同样，当不等式约束条件中的不等号为“≥0”时，只要将不等式两端同时乘以“
6、−1”，即可得到上述标准形式。最优化问题也称数学规划问题，若目标函数和约束函数均为设计变量的线性函数时，称此设计问题为线性优化问题或线性规划问题。▲说明：(1)设计变量与设计空间选择与目标函数、约束函数密切相关，能表达设计对象特征的独立参数和尺寸。n个设计变量x1,x2,…,xn，相互独立，形成向量X=[x1,x2,…,xn]T的全体集合构成一个n维实欧氏空间，称设计空间xn，n称为设计空间的维数。n=2时设计空间为二维平面。5.1.2.优化设计的基本要素：约束条件：对设计变量取值时的限制条件。分为：等式约束：hv(X)=
7、0(v=1,2,…,p)不等式约束：gu(X)≤0(u=1,2,…,m)约束边界所包围的区域是设计空间中满足所有不等式约束条件的部分，在这个区域中所选择的设计变量是允许的，称为设计可行域。由是否满足约束条件将设计点分为可行点(内点)和非可行点(外点)。(2)约束条件与可行域g1(X)=–x1+x2–2≤0g2(X)=x12–x2+1≤0g3(X)=–x1≤0例：x1x2可行域g2(x)g2(x)=0g3(x)=0g1(x)=0将所追求的设计目标用设计变量的形式表达出来，称为建立目标函数。一组设计变量值在设计空间确定一个设计
8、点，对应这一点有确定的函数值。反之，当函数为某一定值时，如f(X)=c,则可有无限多组设计变量X1,X2,…,Xn值与之对应，即有无限多个设计点时对应着相同的函数值。因此这些点在设计空间中将组成一个点集，将此点集称为等值曲面或等值超曲面(若为二维设计空间则称为等值域)。(3)目标函数与等值域简单二维问题
