第二节 单因素方法

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1、第二节单因素方法一斐波那契法（一）原理：设为定义在[a,b]上的下单峰函数，存在x*使对任意a1

2、，压缩区间的总压缩率为：斐波那契数1202年伦纳德·斐波那契提出了这样一个问题：假定一对兔子每个月都生一对新的兔子，新生的兔子隔一个月后就开始生育，其次，假定兔子都没有死亡。这样第一个月是F1=1，第二个月没有生，F2=1；第三个月生了一对兔子，F3=2（老兔及第一对兔子）；第四个月，F4=3（老兔、第一、二对兔子）；第五个月，F5=5（老兔、第一、二、三对兔子及第一对兔子生的兔孙）；…这样形成的数列称为斐波那契数列。n01234567891011121123581321345589144233

3、第一次压缩的压缩率为：第二次压缩的压缩率为：第n次压缩的压缩率为：利用压缩率欲将原区间[a0,b0]压缩为原长的δ倍，需计算几次函数值？斐波那契法的步骤：（1）确定试点个数n，令Fn>1/δ,查表确定试点个数n。（2）选取前两个试点的位置它们在区间的位置是对称的。（3）计算函数值和,并比较它们的大小。（4）计算或,如（3）步迭代。计算试点的一般公式为：计算n次函数值，就可以达到预定的压缩率。0.618法利用斐波那契法压缩区间压缩率依次为：将数列分为可证这两个数列收敛于同一极限。设k→∞时，若则λ

4、=μ。又递推公式得又因为将（1）代入（2）中得：将斐波那契法中每次压缩的不同的压缩率都用0.618来代替，每次压缩的压缩率相同，简化了求试点的计算，这种方法称为0.618法。其递推公式为：若给定，令求满足条件的最小的n。牛顿法一原理：构造函数逼近于已知函数，其最优解也逼近于所求函数的最优解。设y=f(x)在[a,b]区间是下单峰函数，在点处存在。构造函数该函数是二次抛物线函数，且与f(x)共有一点可逼近于f(x)，以的极小点作为f(x)的极小点的近似值。现求的极小点，有如果这个近似值不到预先给定

5、的精确度，就在点构造函数并求极小点，这样继续下去，逐步逼近f（x）的极小点，直到到达给定精确度为止。二牛顿法运算步骤：（1）已知给定精确度ε>0。任取若则为的近似解即是f(x)的最优解。（2）若则算出若则停止，为的近似解即是f(x)的最优解。（3）一般地，若迭代至点，已知时为近似解，若令迭代直到满足精确度为止。例1求函数在区间[3，4]上的最小值,精度=0.05。解：任取故即是近似最优解。抛物线法：一原理：利用构造拟合（逼近）函数的方法，与牛顿法原理相同，但方法不同。设函数f(x)的三点x1

6、2

7、三点继续迭代。每次的三点组中，中间点的函数值均不大于两端点的函数值。(3)当相距两次迭代的极小点的距离小于某一预先给定的距离时，或者逼近函数的值与原来函数值之差小于某一允许误差时就停止迭代。