电气自动控制原理与系统

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1、书名：电气自动控制原理与系统第2版ISBN：978-7-111-08163-0作者：陈渝光出版社：机械工业出版社本书配有电子课件第二章自动控制系统的数学模型第一节数学模型简介第二节典型环节的传递函数及其功能框图第三节框图第四节自动控制系统传递函数本章小结主要内容第一节数学模型简介研究一个自动控制系统，除定性了解组成系统各元件或环节的功能，以及它们之间的相互关系、工作原理以外，还必须定量分析系统的动态、静态（稳态）过程，才能从本质上把握住系统的基本性能。描述系统各变量之间的相互关系的数学表达式，称为系统的数学模型。描述系统动态及稳态性能的数学表达式分别称为

2、动态及稳（静）态模型。时域模型—微分方程；复频域模型—传递函数、动态和静态框图；频域模型—频率特性、Bode图。数学模型简介这些数学模型一般都是可以相互转换的，它们是经典控制理论中常用的时域分析方法、频域分析方法等所使用的数学工具。时域分析方法可以得到控制系统的时域响应曲线，它直观地反映了系统的动态过程。利用它建立起来的系统概念、指标体系等对系统进行性能评估。同时，这些系统概念、指标体系等易于人们理解和使用。一个控制系统的微分方程往往是高阶的微分方程式，求解这类方程式较困难。同时，通过时域解很难找出微分方程式系数（它们取决组成系统的元件的参数）对方程解影

3、响的一般规律，因而使得控制系统的分析和校正较为困难。通过建立频域和时域之间的关系，使用频率法间接地达到分析和校正控制系统的目的。数学模型简介系统的数学模型可以用解析法（又称为理论建模）或实验法（又称为系统辨识）建立。解析法适用于对系统中各元件的物理、化学等性质比较清楚的情况。根据系统的实际结构参数，从系统各元件所依据的物理、化学等规律出发建立系统的数学模型。实验法适用于系统的运动机理复杂而不便于分析或不可能进行分析的情况。人为地在系统或元件的输入端加上一定形式的测试信号，分析系统中各变量的运动规律，然后选择适当的数学表达式，使之近似地逼近这种运动规律，以

4、此作为系统的数学模型。用解析法建立系统的数学模型时，应合理地简化其数学模型。模型过于简单，会使分析结果误差太大；模型过于复杂，则会导致分析计算上的困难。应在精度许可的前提下，尽量简化其数学模型。建立微分方程式的一般步骤全面了解系统的工作原理、组成结构和系统运动所遵循的物理（化学）规律，确定其输入、输出量。从系统的输入端入手，在充分考虑到相邻元件或环节的相互影响的前提下，依次列写元件或环节的微分方程式。综合各个环节微分方程式，得到系统的微分方程式。将系统的微分方程式整理成标准形式：把与输入量有关的各项放在方程式的右边，把与输出量有关的各项放在方程式的左边，

5、各导数项按降幂排列，并将方程式中的系数化为具有一定物理意义的表示形式，如时间常数等。建立微分方程式的一般步骤例：建立图2-1所示直流电动机的微分方程式。图2-1直流电动机建立微分方程式的一般步骤解：直流电动机各物理量之间的基本关系如下：式中ud──电枢电压；式中：e──电枢电动势；id──电枢电流；Rd──电枢电阻；Ld──电枢漏电感；Td──电磁转矩；TL──摩擦和负载阻力矩；Φ──磁通；KT──转矩常数；Ke──电动势常数；n──转速；JG──转动惯量；GD2──飞轮矩；建立微分方程式的一般步骤以ud作为输入量，n作为输出量，TL作为扰动量。消去中间

6、变量Id、Td和e，并整理成标准形式，得：式中τm──电动机的机电时间常数：若不考虑电动机负载的影响，则：τd──电枢回路的电磁时间常数：可以看出：电动机的转速与电动机自身的固有参数τm、τd有关，与电枢电压ud、负载转矩TL以及负载转矩对时间的变化有关。传递函数控制系统性能取决于系统的内在因素，即系统的结构参数，与外部施加的信号无关。控制系统品质好坏的评价可以通过对系统结构参数的分析来达到，而不需要直接对系统输出响应进行分析。传递函数是建立在拉氏变换基础之上，描述线性定常系统或元件输入、输出关系的函数。它是和微分方程一一对应的一种数学模型，它能方便地分

7、析系统或元件结构参数对系统响应的影响。频率法和根轨迹法都是建立在传递函数这种数学模型基础之上的。传递函数是经典控制理论中最基本也是最重要的数学模型。传递函数传递函数当初始条件为零时，线性定常系统或元件输出信号c（t）的拉氏变换式与输入信号r（t）的拉氏变换式之比，称为该系统或元件的传递函数，记为G（s），即：传递函数控制系统微分方程式的一般形式为：设r（t）、c（t）初始条件为零，对上式进行Laplace变换，经整理得到有理分式的形式：M（s）──传递函数的分子多项式；N（s）──传递函数的分母之多项式。传递函数的性质（1）只适用于线性定常系统，且只能反

8、映零初始条件下的全部运动规律。（2）传递函数是s的复变函数，其M（s）、N（s）