微积分基础知识讲课教案.ppt

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1、第0章基本知识一、什么是高等数学?初等数学—研究对象为常量,以静止观点研究问题.高等数学—研究对象为变量,运动和辩证法进入了数学.数学中的转折点是笛卡儿的变数.有了变数,运动进入了数学,有了变数，辩证法进入了数学,有了变数,微分和积分也就立刻成为必要的了.恩格斯11.分析基础:函数,极限,连续2.微积分学:一元微积分(上册)(下册)3.向量代数与空间解析几何4.无穷级数5.常微分方程二、主要内容多元微积分23、极限的思维方法1）计算圆的周长圆内接正n边形Or)45abxyo3)计算曲边梯形面积曲边梯形面积为64)无穷级数7具备的数学素质：从实际问题抽象出数

2、学模型的能力计算与分析的能力了解和使用现代数学语言和符号的能力使用数学软件学习和应用数学的能力8一、基本概念1.集合:具有某种特定性质的对象的全体.组成集合的事物称为该集合的元素.P（x)表示元素具有性质第0章基本知识92.邻域:10二、函数11２．函数类别：显函数y=f(x)隐函数F(x,y)=0参量函数初等代数函数(只含代数运算显函数）分段表达函数单值函数多值函数基本初等函数（幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数）.12(1)符号函数几个特殊的函数举例1-1xyo13(2)取整函数y=[x][x]表示不超过的最大整数12345-2-4-4-

3、3-2-14321-1-3xyo阶梯曲线14有理数点无理数点•1xyo(3)狄利克雷函数15(4)取最值函数yxoyxo在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.16复合函数定义:设函数y=f(u),uU，函数u=(x),xX,其值域为(X)={uu=(x),xX}U，则称函数y=f[(x)]为x的复合函数。代入法17复合函数则设有函数链称为由①,②确定的复合函数,①—复合映射的特例②u称为中间变量.注意:构成复合函数的条件不可少.例如,函数链:函数但函数链不能构成复合函数.可定义复合18注:复合函数可以由

4、两个以上的函数经过复合构成.复合函数代入法19初等函数定义:由基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合运算所构成并可用一个式子表示的显函数，称为初等函数。例：不是初等函数为初等函数不是初等函数为初等函数可表为故为初等函数.20双曲函数与反双曲函数奇函数.偶函数.双曲函数21奇函数,有界函数,22双曲函数常用公式232.反双曲函数奇函数,2425奇函数,26三.函数的几种特性设函数且有区间(1)有界性使称A为上界，B为下界。(2)单调性为有界函数.当时,称为I上的单调增函数;称为I上的单调减函数.27(3)奇偶性且有若则称f(x)为偶函数;若则称f(x)为

5、奇函数.说明:若在x=0有定义,为奇函数时,则当必有例如,偶函数双曲余弦记28例1判断函数的奇偶性.解：∴f(x)是奇函数.例2设f(x)在R上定义，证明f(x)可分解为一个奇函数与一个偶函数的和。证明：设显然g(x)是偶函数，h(x)是奇函数,而故命题的证.29(4)周期性且则称为周期函数,若称l为周期(一般指最小正周期).周期为周期为注:周期函数不一定存在最小正周期.例如,常量函数狄里克雷函数x为有理数x为无理数30四.反函数若函数为单射,则存在逆映射习惯上,的反函数记成称此映射为f的反函数.其反函数(减)(减).1)y＝f(x)单调递增且也单调递增

6、性质:312)函数与其反函数的图形关于直线对称.例如,对数函数互为反函数,它们都单调递增,其图形关于直线对称.指数函数32例1证明若函数y=f(x)是奇函数且存在反函数x=f1(y),则反函数也是奇函数。证明：∴反函数是奇函数。例2解:当x0时,y1,当x<0时,y<1,x=y-1,33几何解释:数列的极限(P6):数列xn当n无限变大时，xn能无限制的接近唯一确定常数a34n=5n=7n=11n=2035如:唯一性,有界性,局部保号性,夹挤规则（两边夹）36证:用反证法.及且取因故存在N1,从而同理,因故存在N2,使当n>N2时,有收敛数列的极限唯

7、一.使当n>N1时,假设从而矛盾.因此收敛数列的极限必唯一.则当n>N时,故假设不真!满足的不等式37两边夹准则证:由条件(2),当时,当时,令则当时,有由条件(1)即故38两边夹法则.若则：39例.证明数列是发散的.证:用反证法.假设数列收敛,则有唯一极限a存在.取则存在N,但因交替取值1与－1,内,而此二数不可能同时落在长度为1的开区间使当n>N时,有因此该数列发散.40例(P10)证明若X2k-1→a,X2k→a(k→∞),则数列{Xn}收敛于a。证：对任ε>0,ヨK1,当k>K1时X2k落在[a-ε,a+ε]即满足

8、Ｘ2k-a

9、≤ε…(1)ヨK2当

10、k>K2时X2k-1落在[a-ε,a+ε]即满足

11、Ｘ2k-1-a

12、