第2章数列习题课3常见的数列求和及应用.doc

《第2章数列习题课3常见的数列求和及应用.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、习题课3　数列的实际应用对点讲练一、等差数列模型的应用例1　某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1150万元，购买当天先付150万元，以后每月这一天都交付50万元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150万元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部按期付清后，买这40套住房实际花了多少钱？解　因购房时先付150万元，则欠款1000万元，依题意分20次付款，则每次付款数额顺次构成数列{an}．∴a1＝50＋1000×1%＝60，a2＝50＋(1000－50)×1%＝59.5，a3＝50＋(1000－50×2)×1%

2、＝59，a4＝50＋(1000－50×3)×1%＝58.5，∴an＝50＋[1000－50(n－1)]×1%＝60－(n－1)(1≤n≤20，n∈N*)．∴{an}是以60为首项，以－为公差的等差数列，∴a10＝60－9×＝55.5，a20＝60－19×＝50.5，∴S20＝(a1＋a20)×20＝10(60＋50.5)＝1105.∴实际共付1105＋150＝1255(万元)．所以第10个月应付55.5万元，实际共付1255万元．总结　与等差数列有关的实际应用题，要抓住其反映等差数列特征，仔细审题，用心联想，如本例中，每月比上一月都少付了50万元的月息，即0.5

3、万元，所以每月付款成等差数列．►变式训练1　从多个地方抽调了一批型号相同的联合收割机，收割一片小麦．若这些收割机同时到达，则24小时可收割完毕，但它们由于距离不同，是每隔一段相同的时间顺序投入工作的，如果第一台收割机总工作时间恰好是最后一台总工作时间的5倍，问以这种收割方式收割机在这片麦地上工作了多长时间？解　设这n台收割机的工作时间依次为a1，a2，…，an小时，依题意a1，a2，…，an组成一个等差数列，又每台收割机每小时的工作效率为，则有由②得＝1，即a1＋an＝48.③联立①、③解得a1＝40(小时)．所以用这种收割方式在这片麦地上工作了40小时．二、等

4、比数列模型的应用例2　国家计划在西部地区退耕还林6370万亩，2002年底西部已退耕还林的土地面积为515万亩，以后每年退耕还林的面积按12%递增．(1)试问从2002年底，到哪一年底西部地区才能完成退耕还林计划？(1.128＝2.476,1.127＝2.211)(精确到年)(2)为支持退耕还林工作，国家财政从2003年起补助农民当年退耕地每亩300斤粮食，每斤粮食按0.7元折算，并且补助当年退耕地每亩20元．试问：西部完成退耕还林计划，国家财政共需支付多少亿元？(精确到亿元)解　(1)设从2002年底起以后每年的退耕还林的土地依次为(单位：万亩)a1，a2，a

5、3，…，an，….则a1＝515×(1＋12%)，a2＝515×(1＋12%)2，…，an＝515×(1＋12%)n，…Sn＝a1＋a2＋…＋an＝＝6370－515，∴515×1.12×(1.12n－1)＝5855×0.12，即1.12n≈2.218.又因为n∈N*，当n＝7时，1.127≈2.211，此时完不成退耕还林计划．所以n＝8.故到2010年底西部地区才能完成退耕还林计划．(2)设财政补助费为W亿元．则W＝(300×0.7＋20)×(6370－515)×10－4≈134.7(亿元)，所以西部完成退耕还林计划，国家财政共需支付134.7亿元．总结　构建

6、等比数列模型解实际问题，要弄清a1与n的实际含义，分清是求通项an还是求前n项和Sn.►变式训练2　有纯酒精aL(a>1)，从中取出1L，再用水加满，然后再取出1L，再用水加满，如此反复进行，则第九次和第十次共倒出纯酒精________L.答案　8解析　用{an}表示每次取出的纯酒精，a1＝1，加水后浓度为＝1－，a2＝1－，加水后浓度为＝2，a3＝2，依次类推：a9＝8L，a10＝9L.∴8＋9＝8.三、递推数列型应用题例3　某企业投资1000万元用于一个高科技项目，每年可获利25%，由于企业间竞争激烈，每年年底需要从利润中取出资金200万元进行科研、技术改造

7、与广告投入方能保持原有的利润增长率，问经过多少年后，该项目的资金可以达到或超过翻两番(4倍)的目标？(取lg2＝0.3)解　设该项目逐年的项目资金数依次为a1，a2，a3，…，an.则由已知an＋1＝an(1＋25%)－200(n∈N*)．即an＋1＝an－200.令an＋1－x＝(an－x)，即an＋1＝an－，由＝200，∴x＝800.∴an＋1－800＝(an－800)(n∈N*)故数列{an－800}是以a1－800为首项，为公比的等比数列．∵a1＝1000(1＋25%)－200＝1050.∴a1－800＝250，∴an－800＝250n－1.∴an＝8

8、00＋250n－1(n∈