第六节微分法在几何上的应用.doc

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1、第六节微分法在几何上的应用教学目的：根据导函数的几何性质，学习并掌握空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线方程的形成过程和确定方法．教学重点：空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的方程．教学难点：曲线切线、曲面切平面的切向量．教学内容：一、空间曲线的切线与法平面1．空间曲线的方程为的情形设(1)都可导．在曲线上取对应于的一点及邻近的对应于的一点．则曲线的割线的方程是当沿着趋于时，割线的极限位置就是曲线在点处的切线．用除上式的各分母，得令这时通过对上式取极限，即得曲线在点处的切线方程为(2)这里当然要假定不能都为零．如果个别为零，则应按空间解析几何有关

2、直线的对称式方程的说明来理解．切线的方向向量称为曲线的切向量．向量就是曲线Г在点处的一个切向量．通过点而与切线垂直的平面称为曲线在点处的法平面，它是通过点而以为法向量的平面，因此这法平面的方程为(3)例1求曲线在点(1,1,1)处的切线及法平面方程．解因为而点(1,1,1),所对应的参数，所以于是，切线方程为,法平面方程为即2．空间曲线Г的方程为的情形取为参数，它就可以表为参数方程的形式若都在处可导，那末根据上面的讨论可知,因此曲线在点处的切线方程为(4)在点处的法平面方程为(5)3．空间曲线Г的方程为的情形设是曲线Г上的一个点，又设有对各个变量有连续偏导数，

3、且这时方程组(6)在点的某一邻域内确定了一组函数．要求曲线Г在点M处的切线方程和法平面方程，只要求出然后代入(4)、(5)两式就行了．为此，我们在恒等式两边分别对求全导数，得由假设可知，在点M的某个邻域内故可解得，于是是曲线在点处的一个切向量，这里分子分母中带下标0的行列式表示行列式在点的值．把上面的切向量乘以得这也是曲线在点处的一个切向量，由此可写出曲线Г在点处的切线方程为(7)曲线Г在点处的法平面方程为(8)如果而中至少有一个不等于零，我们可得同样的结果．例2求曲线,在点(1,-2,1)处的切线及法平面方程．解将所给方程的两边对求导并移项，得由此得从而故所

4、求切线方程为法平面方程为,即二、曲面的切平面与法线1．隐式方程情形我们先讨论由隐式给出曲面方程(9)的情形，然后把由显式给出的曲面方程作为它的特殊情形．设曲面∑由方程(9)给出，是曲面∑上的一点，并设函数的偏导数在该点连续且不同时为零．在曲面∑上，通过点任意引一条曲线（图8―8），假定曲线的参数方程为(10)对应于点且不全为零，则由(2)式可得这曲线的切线方程为=因为曲线Г完全在曲面∑上，所以有恒等式，又因在点处有连续偏导数，且都存在，所以这恒等式左边的复合函数在时有全导数，且这全导数等于零：即有(11)引入向量则(11)式表示曲线（10）在点M处的切向量与向

5、量垂直．因为曲线(10)是曲面上通过点的任意一条曲线，它们在点的切线都与同一个向量垂直，所以曲面上通过点的一切曲线在点的切线都在同一个平面上（图8―8）．这个平面称为曲面∑在点的切平面，这切平面的方程是(12)通过点而垂直于切平面(12)的直线称为曲面在该点的法线．法线方程是(13)垂直于曲面上切平面的向量（即切平面的法线向量）称为曲面的法向量，向量就是曲面∑在点处的一个法向量．2．显式方程情形设曲面方程为(14)令),可见,，.于是，当函数的偏导数、在点连续时，曲面（14）在点处的法向量为切平面方程为或(15)而法线方程为这里顺便指出，方程(15)右端恰好是

6、函数在点的全微分，而左端是切平面上点的竖坐标的增量．因此，函数在点的全微分，在几何上表示曲面在点处的切平面上点的竖坐标的增量．如果用表示曲面的法向量的方向角，并假定法向量的方向是向上的，即使得它与轴的正向所成的角是一锐角，则法向量的方向余弦为这里，把分别简记为,．例3求球面在点(1,2,3)处的切平面及法线方程．解()=,．所以在点(1,2,3)处此球面的切平面方程为即法线方程为即由此可见，法线经过原点(即球心)．小结与思考：本节在空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线两方面研究了微分法的应用．利用导函数的几何性质，针对空间曲线的一般表现方式，给出了空间曲

7、线的切向量，从而确定了空间曲线的切线与法平面方程；同时针对由隐式给出的曲面方程，推导出曲面的切平面与法线方程，并给出了曲面法向量的方向角．作业：作业卡p16-17