三角形地证明.docx

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1、三角形的证明基本方法：1、逆推综合法：从结论着眼，思考要使结论成立，需要具备什么条件，这样逆推直到需要的条件已经具备，当然这种逆推的过程中，要不断地向已知条件靠拢，这就是“执果索因”2、分析法：有时，这种逆推会遇到障碍，这时也可用另一种方法思考，即从已知条件入手，思考从已知条件可以顺推出什么结论来，这样顺推直至结论成立，这就是“由因导果”3、综合分析法：顺推与逆推相结合，从问题的两头向中间靠拢，从而发现问题的突破口，这也叫“两头凑”。基本思路1、当条件都满足时，结合已知条件，顺推论证2、当问题的条件不够时：添加辅助线构成新图形➨形成新关系➨使分散

2、的条件集中➨建立已知与未知的桥梁➨把问题转化为自己能解决的问题。这是证明题目常用的基本思路。一、边边关系：通过添加辅助线构造全等三角形转移线段到一个三角形中证明线段相等1、不等关系：基本定理：三角形的两边之和大于第三边；两边之差小于第三边；在同一个三角形角对大边基本思路：通过构造全等、平移或者截取的方法，把三边集中到一个三角形中，利用以上基本定理来证明。例1：已知：如图，P是△ABC任一点，求证：AB+AC＞BP+PC。如图，延长BP交AC于点D在△BAD中AB+AD>BD ，即：AB+AD>BP+PD①在△PDC中， PD+DC>PC②①＋②得

3、AB+AD+PD+DC>BP+PD+PC ，即AB+AC>BP+PC例2如图AD为△ABC的中线，求证：AB＋AC＞2AD。分析：要证AB＋AC＞2AD，由图想到：AB＋BD＞AD,AC＋CD＞AD，所以有AB＋AC＋BD＋CD＞AD＋AD＝2AD，左边比要证结论多BD＋CD，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去。证明：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，则AE＝2AD∵AD为△ABC的中线（已知）∴BD＝CD（中线定义）在△ACD和△EBD中∴△ACD≌△EBD（SAS）∴BE＝CA

4、（全等三角形对应边相等）∵在△ABE中有：AB＋BE＞AE（三角形两边之和大于第三边）∴AB＋AC＞2AD。（常延长中线加倍，构造全等三角形）例3：如图AD为△ABC的中线，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：BE＋CF＞EF证法1：延长ED至M，使DM=DE，连接CM，MF。在△BDE和△CDM中，∵∴△BDE≌△CDM（SAS）∴BE=CM又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4（已知）∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°（平角的定义）∴∠3＋∠2=90°，即：∠EDF＝90°∴∠FDM＝∠EDF＝90°在△EDF和△MDF中∵∴△EDF≌△MDF（SAS）∴EF

5、＝MF（全等三角形对应边相等）∵在△CMF中，CF＋CM＞MF（三角形两边之和大于第三边）∴BE＋CF＞EF注：上题也可加倍FD，证法同上。注意：当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构造全等三角形，使题中分散的条件集中。证法2：分析：要证BE+CF>EF，可利用三角形三边关系定理证明，须把BE，CF，EF移到同一个三角形中，而由已知∠1=∠2，∠3=∠4，可在角的两边截取相等的线段，利用三角形全等对应边相等，把EN，FN，EF移到同个三角形中。证明：在DA上截取DN=DB，连接NE，NF，则DN=DC，在△DBE和△NDE中

6、：DN=DB（辅助线作法）∠1=∠2（已知）ED=ED（公共边）∴△DBE≌△NDE（SAS）∴BE=NE（全等三角形对应边相等）同理可得：CF=NF在△EFN中EN+FN>EF（三角形两边之和大于第三边）∴BE+CF>EF。注意：当证题有角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，然后用全等三角形的对应性质得到相等元素:例4：已知如图：在△ABC中，AB>AC，∠1=∠2，P为AD上任一点求证：AB-AC>PB-PC分析：要证：AB-AC>PB-PC，想到利用三角形三边关系，定理证之，因为欲证的线段之差，故用两边之差小于第三边

7、，从而想到构造第三边AB-AC，故可在AB上截取AN等于AC，得AB-AC=BN，再连接PN，则PC=PN，又在△PNB中，PB-PNPB-PC。证明：（截长法）在AB上截取AN=AC连接PN,在△APN和△APC中AN=AC（辅助线作法）∠1=∠2（已知）AP=AP（公共边）∴△APN≌△APC（SAS）,∴PC=PN（全等三角形对应边相等）∵在△BPN中，有PB-PN

8、法）∠1=∠2（已知）AP=AP（公共边）∴△ABP≌△AMP（SAS）∴PB=PM（全等三角形对应边相等）又∵在△PCM中有：CM>P