郑州大学2009高等代数.doc

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1、1（10分）设是互不相同的整数，求证多项式在整系数多项式环中不可约。2（10分）设，求有重根的条件。3（10分）记求的根。4（10分）（1）设，。求；（2）求，其中。5（15分）设是阶方阵的伴随矩阵。证明：当时，；当时，；当时，。6（10分）设为阶方阵，为正整数，线性方程组有解向量且。证明：向量组线性无关.7(10分)求下面向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组表示：。8（10分）若下面线性方程组有解，常数应满足什么条件？9（15分）已知矩阵有特征值，矩阵。其中为实数，为单位阵。（1）求，并说明是否可以对角化；（2）矩阵是否可

2、以对角化，若能，求对角矩阵，使.10(15分)已知均为三阶非零矩阵，且（1）证明与的特征值只能是0或1；并且0和1必是与的特征值；（2）若是关于的特征向量，则必是矩阵关于的特征向量。11（15分）设（1）用正交变换化此二次型为标准型，并写出所有的正交变换；（2）是否有可逆矩阵，使得。其中是原二次型的矩阵。若有，求出它；若无，说明理由。12(20分)设为有理数域上的三维向量空间，为到的线性变换。若对，有，证明线性无关。