第四章 数值积分与数值微分-数值分析ppt课件.ppt

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1、第四章数值积分与数值微分/*NumericalIntegrationanddifferentiation*/近似计算§1引言对f()采用不同的近似计算方法，从而得到各种不同的求积公式。以上三种方法都是用被积函数值的线性组合来表示积分值。推广，一般地有求积节点求积系数，与被积函数无关像这样，将积分用若干节点上被积函数值的线性组合来表示的数值积分公式称为机械求积公式。求积误差机械型求积公式的构造归结为，确定求积节点xk和求积系数Ak，使在某种意义下精确度较高。总之，要解决三个问题：精确度的度量标准；如何构造具体的求积公式；具体求积公式构造出来后，误差如

2、何估计？定义：代数精度若某个求积公式对次数m阶的多项式准确成立，而对m+1阶的多项式不一定准确成立。即对应的误差满足：R[Pk]=0对任意km阶的多项式成立，且R[Pm+1]0对某个m+1阶多项式成立，则称此求积公式的代数精度为m。代数精度与误差的关系：代数精度越高，求积误差越小。结论：问题1由上面代数精度条件确定求积公式可分两种情形：若事先给定求积节点xk(k=0,…,n),例如被积函数以表的形式给出时xk确定，可令m=n,由上式确定n+1个系数Ak即可----待定系数法和插值法。若xk和Ak都可选择，令m=2n+1，确定xk和法Ak---Gaus

3、s法要使求积公式具有m阶代数精度，则它对1,x,…,xm均准确成立，即m+1个方程，2n+2个未知数问题2Case1---方法1§1插值型求积公式思路利用插值多项式则积分易算。在[a,b]上取ax0

4、精确成立代入P0=1：=代入P1=x：=代入P2=x2：代数精度=1§1Newton-CotesFormulaeTh1.形如的求积公式至少有n次代数精度该公式为插值型（即：）当节点等距分布时：令Cotes系数注：Cotes系数仅取决于n和i，可查表得到。与f(x)及区间[a,b]均无关。§2Newton--Cotes公式Newton—Cotesformula§1Newton-CotesFormulaen=1:TrapezoidalRule/*令x=a+th,h=ba,用中值定理*/代数精度=1n=2:Simpson’sRule代数精度=3n=4:C

5、otesRule,代数精度=5,偶数阶N-C公式具有n+1阶代数精度n=3:Simpson’s3/8-Rule,代数精度=3,对称节点的系数相同Cotes公式是用不同节点的函数值（高度）的加权平均来近似区间的平均高度注：当n8时，Cotes系数有负，造成公式不稳定，因此常用低阶Cotes公式。证明：只需证明n为偶数时，N-C公式对f(x)=xn+1的余项R(f)=0即可。因f(n+1)(x)=(n+1)!,由余项公式得Th2.n为偶数时，N-C公式至少具有n+1阶代数精度。注：当n为偶数时，Cotes公式具有n+1阶精度，与n+1阶Cotes公式精度相同，

6、但少计算一个节点上的函数值，因此一般常用偶数阶Cotes公式。偶数阶N-C公式具有n+1阶代数精度N-C公式具有n阶代数精度余项R=o(hn+2)Hint：constructainterpolationpolynomialoforder5,H(x),satisfyingH(a)=f(a),H(b)=f(b),H(k)((a+b)/2)=f(k)((a+b)/2).数值稳定性的一般概念N-C的稳定性3复化求积/*CompositeQuadrature*/高次插值有Runge现象，故采用分段低次插值分段低次合成的Newton-Cotes复化求积公式。复化梯

7、形公式：在每个上用梯形公式：=Tn/*中值定理*/§2CompositeQuadrature复化Simpson公式：44444=Sn注：为方便编程，可采用另一记法：令n’=2n为偶数，这时，有§2CompositeQuadrature收敛速度与误差估计：定义若一个复化积分公式的误差满足且C0，则称该公式是p阶收敛的。/*中值定理*/类似的，可得2阶收敛4阶收敛6阶收敛例1：计算解：其中=3.138988494其中=3.141592502运算量基本相同Q:给定精度，如何取n?例如：要求，如何判断n=？上例中若要求，则即：取n=409§2Composit

8、eQuadrature事后误差估计式，可用来判断迭代