导数定义及公式.docx

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1、导数：1.若f(x)=c,则f‘（x）=2.若f(x)=xn（n∈Q*），则f‘（x）=3.若f(x)=sinx,则f‘（x）=4.若f(x)=cosx,则f‘（x）=5.若f(x)=ax,则f‘（x）=6.若f(x)=ex,则f‘（x）=7.若f(x)=logax,则f‘（x）=8.若f(x)=lnx,则f‘（x）=9.【fx±g(x)】'=10.【fx.g(x)】'=11.【fxg(x)】'=12.【cfx】'=13.y=fu,u=g(x)，则y=f（g（x））；yx'=sin2x=（e-x）'=##导数：一般地，函数y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率是∆x→0limΔyΔx

2、=∆x→0limfx0+∆x-f(x0)∆x,称函数y=f（x）在x=x0处的导数，记作：f‘（x）或y‘x=x0。即f‘（x0）=∆x→0limΔyΔx=∆x→0limfx0+∆x-f(x0)∆x。##函数y=f（x）在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线斜率，也就是说曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线斜率是f‘（x0）。相应地，过p点的切线方程为：y-f（x0）=f‘（x0）（x-x0）##导函数：如果函数y=f（x）在开区间（a，b）每一点都可导，就说函数f（x）在开区间（a，b）可导。若函数f（x）在开区间（a，b

3、）可导，则f（x）在（a，b）每一点的导数构成一个新函数，把这一新函数叫做f（x）在开区间（a，b）的导函数（简称导数）记作f‘（x）或y‘或y‘x。即f‘（x）=y‘=∆x→0limΔyΔx=∆x→0limfx+∆x-f(x)∆x一、函数的单调性一般地，与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(a，b)，如果f‘（x）>０，那么函数y=f（x）在这个区间单调递增；如果f‘（x）１.如果f‘（x）>０，则f（x）严格增函数；如果f‘（x）<０，则f（x）严格减函数。２.如果在（a，b）恒有f‘（x）＝０，那么f（x）在（a，b）是常数。３.f‘（x）>０是f（x）在此区间上为增函数的

4、充分而不必要条件。求函数单调区间的步骤：１.确定y=f（x）的定义域；２.求导数f‘（x），求出f‘（x）＝０的根；３.函数的无定义点和f‘（x）＝０的根将f（x）的定义域分成若干区间，列表考查这若干区间f‘（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间。注意：Ａ.　如果一个函数具有相同单调性的区间不止一个，哪个这些单调区间不能用“Ｕ”连接，只能用逗号或“和”字隔开。Ｂ.　求函数单调区间时易忽视函数的定义域。应优先考虑函数的定义域。二、函数的极值：１.定义，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有点，都有f（x）

5、x0附近的所有点，都有f（x）>f（x0），则称f（x0）是函数f（x）的一个极小值。极大值点、极小值点统称极值点，极大值和极小值统称极值。２.判断f（x0）是极大值或极小值的方法：第一步，确定函数的定义域，求导数f‘（x）；第二步，求方程f‘（x）＝０的根；第三步，检查f‘（x）在f‘（x）＝０的根左右两侧的值的符号；１.如果“左正右负”，那么f（x）在这个根处取到极大值；２.如果“左负右正”，那么f（x）在这个根处取到极小值；３.如果左右不改变符号，即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值。在此步聚中，最好利用方程f‘（x）＝０的根，顺次将函数的定义区间分成若干个开区间，并

6、列表，依表格容得出结论。※函数在极值点的导数为０，但导数为０的点不一定是极值点，如函数f（x）＝x3，点x＝０就不是极值点，但f‘（０）＝０；※函数的极大值不一定大于极小值；※在给定的一个区间上，函数可能有若干个极值点，也可能不存在极值点。三函数的最值：设函数y=f（x）是定义在区间[a，b]上的函数，y=f（x）在区间（a，b）有导数，求y=f（x）在[a，b]上的最大值与最小值，其步骤为：先求函数y=f（x）在（a，b）的极值；再将函数y=f（x）的各极值与端点的函数值f（a）、f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。如果在区间[a，b]上，函数y=f（x）的

7、图象是一条连续不断的曲线，则函数在[a，b]上一定能够取得最大值和最小值，并且函数的最值必在极值点或端点处取得。※提示：１.若函数y=f（x）在区间[a，b]上单调递增，则f（a）为最小值，f（b）为最大值；若若函数y=f（x）在区间[a，b]上单调递减，则f（a）为最大值，f（b）为最小值。２.图象连续不断的函数在开区间（a，b）上不一定有最大（小）值，如果图象连续不断的函数在开区间（a，b）上只有一个极值，则该极值就是最值。３.函数的极值不一定是最值，求函数的最值