模态逻辑的诸后承关系之比较

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1、此文发表在电子期刊《逻辑与认知》，2004年第1期。模态逻辑的诸后承关系之比较李小五中山大学逻辑与认知研究所，中山大学哲学系，广州，510275摘要：本文定义模态语言的两种语义（邻域语义和关系语义）的若干个语义后承和4个具有代表性的模态系统的语法后承，然后比较它们之间的关系。关键词：语义后承；语法后承；后承关系之比较中图分类号：B81文献标识码：A　　　令L是模态句子语言，At是L的全体原子公式的集合，FL是L的全体公式的集合。我们总用p，q和r表示At的前3个句符，用A和B表示任意公式，用Φ和Ψ表示任意公式集。1语义后承之间的比较我们先来考虑语义后承关系

2、。任给集合X，我们用P(X)表示X的幂集。本文我们总用*表示R或N，其中R和N分别指称关系语义和邻域语义。1.1定义(1)称F＝〈W，*〉是*-框架，记作F∈*F，Û下列条件满足：①W是非空集，其中的元素称为可能世界，且②若*是R，则R是W上的二元关系。若*是N，则N是从W到P(P(W))中的映射。(2)称M＝〈W，*，［］〉是*-模型，记作M∈*M，Û下列条件满足：①〈W，*〉是*-框架，且②［］是从At到P(W)中的映射。 (3)复合公式在M中的真值集定义如下：①［ØA］＝W－［A］，②［A∧B］＝［A］∩［B］，③若*是R，则［□A］＝｛w∈W：R(

3、w)Í［A］｝，其中R(x)表示｛y∈W：xRy｝。若*是N，则［□A］＝｛w∈W：［A］∈N(w)｝。(4)设M＝〈W，*，［］〉，F＝〈W，*〉。我们称M是F的模型，F是M的框架。¨¨表示定义、定理(的证明)等的结束符。若*是R，则称*-框架(模型)为关系框架(模型)；若*是N，则称*-框架(模型)为邻域框架(模型)。1.2约定(1)w∈M表示w属于M的可能世界集。10(2)令M＝〈W，*，［］〉，①w⊨A表示：w∈［A］。②w⊨Φ或w∈［Φ］表示：对每一A∈Φ，w⊨A。¨1.3定义任给M＝〈W，*，［］〉。(1)称A在M中有效，记作M⊨A，Û［A

4、］＝W。(2)称Φ在M中有效，记作M⊨Φ，Û对每一A∈Φ，M⊨A。(3)称Φ逐*-点衍推A，记作Φ⊨*A，Û对每一M∈*M和w∈M(w⊨ΦÞw⊨A)。(4)称Φ逐*-模型衍推A，记作Φ⊨*MA，Û对每一M∈*M(M⊨ΦÞM⊨A)。¨(3)和(4)中定义的关系和下面我们要定义的同类关系都称为后承关系，它们都是定义在P(FL)´FL上的二元关系。以后我们也集合论地看待后承关系，即考虑它们之间的（真）包含关系和等于关系（互为包含关系）。1.4定义(1)称A在*-框架F中有效，记作F⊨A，Û对F的任意模型M，M⊨A。(2)称Φ在*-框架F中有效，记作F⊨Φ，Û对每

5、一A∈Φ，F⊨A。(3)称Φ逐*-框架衍推A，记作Φ⊨*FA，Û对每一框架F∈*F(F⊨ΦÞF⊨A)。¨1.5定义令C是*-模型的类或*-框架的类。(1)称A在C中有效，记作C⊨A，Û对所有X∈CF，X⊨A。(2)称Φ在C中有效，记作C⊨Φ，Û对所有A∈Φ，C⊨A。(3)称Φ相对C衍推A，记作Φ⊨CA，Û(C⊨ΦÞC⊨A)。¨1.6定义(1)称Φ逐*-模型类衍推A，记作Φ⊨*CMA，Û(对所有*-模型的类C，C⊨ΦÞC⊨A)。¨(2)称Φ逐*-框架类衍推A，记作Φ⊨*CFA，Û(对所有*-框架的类C，C⊨ΦÞC⊨A)。¨说明：在1.3(3)，我们定义了

6、逐点衍推，在1.3(4)和1.4(3)，我们定义了逐个衍推，在1.5(3)，我们定义了全类衍推。这里我们又定义了逐类衍推。以后我们将研究它们之间的关系。上面我们已经定义了多个语义后承关系。类似地，我们还可以定义其他语义后承关系。例如，称Φ相对*-模型的类CM逐点衍推A，记作Φ⊨CM，PA，Û对每一M∈CM和w∈M(w⊨ΦÞw⊨A)。称Φ相对CM逐模型衍推A，记作Φ⊨CM，MA，Û对每一M∈CM(M⊨ΦÞM⊨A)。称Φ相对*-框架的类CF逐模型衍推A，记作Φ⊨CF，MA，Û对每一F∈CF和F的模型M(M⊨ΦÞM⊨A)。称Φ相对CF逐框架衍推A，记作Φ⊨CF，

7、FA，Û对每一F∈CF(F⊨ΦÞF⊨A)。称Φ相对CF逐点衍推A，记作Φ⊨CF，PA，Û对每一F∈CF和F的模型M和w∈M(w⊨ΦÞw⊨A)。易见这些衍推关系是前面的衍推关系的概括。易证：1.7推论其中每一命题中的*指称同一个符号。(1)⊨*＝⊨*M，P＝⊨*F，P。　　(2)⊨*M＝⊨*M，M＝⊨*F，M。(3)⊨*F＝⊨*F，F。　　　　　　(4)⊨*M＝⊨*F。¨下面我们着重考虑具有代表性的3个后承关系：⊨*，⊨*M，⊨*F。1.8定义10(1)称σ是一个代入映射Ûσ是从At到FL中的映射。(2)任给公式A，定义A的代入特例Aσ如下：①pσ＝σ(p

8、)，对所有p∈At，②(ØA)σ＝Ø(Aσ)，③(A∧B)σ＝(A