对数函数及其性质.pdf

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1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2.2.2对数函数及其性质1．对数函数的概念(1)定义：一般地，我们把函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．(2)对数函数的特征：logax的系数：1特征logax的底数：常数，且是不等于1的正实数logax的真数：仅是自变量x判断一个函数是否为对数函数，只需看此函数是否具备了对数函数的特征．比如函数y＝log7x是对数函数，而函数y＝－3log4x

2、和y＝logx2均不是对数函数，其原因是不符合对数函数解析式的特点．2【例1－1】函数f(x)＝(a－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝__________．2解析：由a－a＋1＝1，解得a＝0,1．又a＋1＞0，且a＋1≠1，∴a＝1．答案：1【例1－2】下列函数中是对数函数的为__________．(1)y＝logax(a＞0，且a≠1)；(2)y＝log2x＋2；(3)y＝8log2(x＋1)；(4)y＝logx6(x＞0，且x≠1)；(5)y＝log6x．解析：序号是否理由(1)

3、×真数是x，不是自变量x(2)×对数式后加2(3)×真数为x＋1，不是x，且系数为8，不是1(4)×底数是自变量x，不是常数(5)√底数是6，真数是x答案：(5)2．对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象与性质(1)图象与性质a＞10＜a＜1图象(1)定义域{x

4、x＞0}(2)值域{y

5、yR}性(3)当x＝1时，y＝0，即过定点(1,0)质(4)当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1(4)当x＞1时，y＜0；当0时，y＜0＜x＜1时，y＞0(5)在(0，＋∞)上是增函数(5)在(0，＋∞)上是减函

6、数谈重点对对数函数图象与性质的理解对数函数的图象恒在y轴右侧，其单调性取决于底数．a＞1时，函数单调递增；0＜a＜1时，函数单调递减．理解和掌握对数函数的图象和性质的关键是会画对数函数的图象，在掌握图象的基础上性质就容易理解了．我们要注意数形结合思想的应用．(2)指数函数与对数函数的性质比较1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯x解析式y＝a(a＞0，且a≠1)y＝logax(a＞0，且a≠1)定义域R(0，＋∞)值域(0，＋∞)R性过定点(

7、0,1)(1,0)质单调性单调性一致，同为增函数或减函数奇偶性奇偶性一致，都既不是奇函数也不是偶函数(3)底数a对对数函数的图象的影响①底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．②底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a＞1还是0＜a＜1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大．点技巧对数函数图象的记忆口诀两支喇叭花手中拿，(1,0)点处把花扎，若是底数小于1，左上穿点渐右下，若是底数大于1，左下

8、穿点渐右上，绕点旋转底变化，顺时方向底变大，可用直线y＝1来切，自左到右a变大．431【例2】如图所示的曲线是对数函数y＝logax的图象．已知a从3，，，中取值，3510则相应曲线C1，C2，C3，C4的a值依次为()431A．3，，，3510413B．3，，，3105431C．，3，，3510413D．，3，，3105解析：由底数对对数函数图象的影响这一性质可知，C4的底数＜C3的底数＜C2的底数＜C1431的底数．故相应于曲线C1，C2，C3，C4的底数依次是3，，，．3510答案：A点技巧根据

9、图象判断对数函数的底数大小的方法(1)方法一：利用底数对对数函数图象影响的规律：在x轴上方“底大图右”，在x轴下方“底大图左”；(2)方法二：作直线y＝1，它与各曲线的交点的横坐标就是各对数的底数，由此判断各底数的大小．3．反函数(1)对数函数的反函数x指数函数y＝a(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数．(2)互为反函数的两个函数之间的关系①原函数的定义域、值域是其反函数的值域、定义域；②互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称．(3)求已知函数的反函数，一般

10、步骤如下：2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯①由y＝f(x)解出x，即用y表示出x；②把x替换为y，y替换为x；③根据y＝f(x)的值域，写出其反函数的定义域．x【例3－1】若函数y＝f(x)是函数y＝a(a＞0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝()1A．log2xB．x2x－2C．log1xD．22x解析：因为函数y＝a(a＞0，且a≠1)的反函数是f(x)＝logax，又