Ch7 非线性方程与方程组的数值解法课件.ppt

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1、第7章非线性方程与方程组的数值解法7.1方程求根与二分法7.2不动点迭代法及其收敛性7.3迭代收敛的加速方法7.4牛顿法7.5弦截法与抛物线法7.6非线性方程组的数值解法例如代数方程x5-x3+24x+1=0,超越方程sin(5x2)+e-x=0.对于不高于4次的代数方程已有求根公式，而高于4次的代数方程则无精确的求根公式，至于超越方程就更无法求出其精确的解，因此，如何求得满足一定精度要求的方程的近似根也就成为迫切需要解决的问题，为此，本章介绍几种常见的非线性方程的近似求根方法.引言主要讨论单变量非线性方程f(x)=0(1.1)的求根问题，这里x∈R,f(x)∈C[a

2、,b].在科学与工程计算中有大量方程求根问题，其中一类特殊的问题是多项式方程其中系数ai(i=0,1,,n)为实数.方程f(x)=0的根x*，又称为函数f(x)的零点，它使得f(x*)=0，若f(x)可分解为f(x)=(x-x*)mg(x)，其中m为正整数，且g(x*)≠0.当m=1时，则称x*为单根，若m>1称x*为(1.1)的m重根，或x*为函数f(x)的m重零点.若x*是f(x)的m重零点，且g(x)充分光滑，则当f(x)为代数多项式(1.2)时，根据代数基本定理可知，n次代数方程f(x)=0在复数域有且只有n个根(含复根，m重根为m个根).n=1,2时方程的

3、根是大家熟悉的，n=3,4时虽有求根公式但比较复杂，可在数学手册中查到，但已不适合数值计算，而n≥5时就不能用公式表示方程的根.因此，通常对n≥3的多项式方程求根与一般连续函数方程(1.1)一样都可采用迭代法求根.迭代法要求给出根x*的一个近似，若f(x)∈C[a,b]且f(a)f(b)<0，根据连续函数性质中的介值定理可知方程f(x)=0在(a,b)内至少有一个实根，这时称[a,b]为方程(1.1)的有根区间.例1判断方程f(x)=x3-x-1=0的有根区间.设f(x)在区间[a,b]上连续,f(a)·f(b)<0,则在[a,b]内有方程的根.取[a,b]的中点将区

4、间一分为二.若f(x0)=0,则x0就是方程的根,否则判别根x*在x0的左侧还是右侧.若f(a)·f(x0)<0,则x*∈(a,x0),令a1=a,b1=x0;若f(x0)·f(b)<0,则x*∈(x0,b),令a1=x0,b1=b.不论出现哪种情况,(a1,b1)均为新的有根区间,它的长度只有原有根区间长度的一半,达到了压缩有根区间的目的.7.1方程求根与二分法对压缩了的有根区间,又可实行同样的步骤,再压缩.如此反复进行,即可的一系列有根区间套由于每一区间都是前一区间的一半，因此区间[an,bn]的长度为若每次二分时所取区间中点都不是根，则上述过程将无限进行下去.当

5、n→∞时，区间必将最终收缩为一点x*，显然x*就是所求的根.abx0x2abWhentostop?或不能保证x的精度x*2xx*若取区间[an,bn]的中点作为x*的近似值，则有下述误差估计式只要n足够大,(即区间二分次数足够多)，误差就可足够小.由于在偶重根附近曲线y=f(x)为上凹或下凸,即f(a)与f(b)的符号相同,因此不能用二分法求偶重根.例2用二分法求例1中方程f(x)=x3-x-1=0的实根,要求误差不超过0.005.解由例1可知x*∈(1,1.5),要想满足题意，即：则要

6、x*-xn

7、≤0.005由此解得取n=6,按二分法计算过程见下表,x6=1.3

8、242为所求之近似根.二分法的优点是算法简单，且总是收敛的，缺点是收敛的太慢，故一般不单独将其用于求根，只是用其为根求得一个较好的近似值.逐步搜索法从区间[a,b]的左端点a出发,按选定的步长h一步步向右搜索，若f(a+jh)·f(a+(j+1)h)<0(j=0,1,2,)则区间[a+jh,a+(j+1)h]内必有根.搜索过程也可从b开始，这时应取步长h<0.7.2不动点迭代法及其收敛性7.2.1不动点迭代法将方程f(x)=0改写为等价方程形式x=(x).(2.1)若要求x*满足f(x*)=0，则x*=(x*)；反之亦然，称x*为函数(x)的一个不动点.求f(

9、x)的零点就等于求(x)的不动点，选择一个初始近似值x0，将它代入(2.1)右端，即可求得x1=(x0).可以如此反复迭代计算xk+1=(xk)(k=0,1,2,).(2.2)(x)称为迭代函数.如果对任何x0∈[a,b]，由(2.2)得到的序列{xk}有极限则称迭代方程(2.2)收敛.且x*=(x*)为(x)的不动点，故称(2.2)为不动点迭代法.当(x)连续时，显然x*就是方程x=(x)之根(不动点).于是可以从数列{xk}中求得满足精度要求的近似根.这种求根方法称为不动点迭代法,称为迭代格式,(x)称为迭代函数,x0称为迭代