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1、第五节曲线与方程考纲考情广东五年0考 高考指数:★☆☆☆☆1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系2.了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几何问题的基本方法3.能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程五年考题无单独命题考情播报1.求曲线的轨迹或轨迹方程是近几年高考命题的一个方向2.常以圆、椭圆、双曲线、抛物线为载体,有时会与向量交汇考查.考查定义法、相关点法、参数法等求轨迹的方法3.题型大多数以解答题为主,属中高档题【知识梳理】1.曲线与方程的定义一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立如下的对应关系:这
2、个方程曲线上那么,这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线.2.求动点的轨迹方程的基本步骤任意x,y所求方程【考点自测】1.(思考)给出下列命题:①f(x0,y0)=0是点P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上的充要条件;②方程x2+xy=x的曲线是一个点和一条直线;③到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2=y2;④方程y=与x=y2表示同一曲线.其中错误的是()A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④【解析】选B.①正确.由f(x0,y0)=0可知点P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上,又P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上时,有
3、f(x0,y0)=0,所以f(x0,y0)=0是P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上的充要条件.②错误.方程变为x(x+y-1)=0,所以x=0或x+y-1=0,故方程表示直线x=0或直线x+y-1=0.③错误.当以两条互相垂直的直线为x轴、y轴时,是x2=y2,否则不正确.④错误.因为方程y=表示的曲线只是方程x=y2表示曲线的一部分,故其不正确.2.若动点P到定点F(1,-1)的距离与到直线l:x-1=0的距离相等,则动点P的轨迹是()A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.直线【解析】选D.因为定点F(1,-1)在直线l:x-1=0上,所以轨迹为过F(1,
4、-1)与直线l垂直的一条直线,故选D.3.实数变量m,n满足m2+n2=1,则坐标(m+n,mn)表示的点的轨迹是()A.抛物线B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线的一部分【解析】选D.设x=m+n,y=mn,则x2=(m+n)2=m2+n2+2mn=1+2y,且由于m,n的取值都有限制,因此变量x的取值也有限制,所以点(m+n,mn)的轨迹为抛物线的一部分,故选D.4.方程x2+xy=0表示的曲线是.【解析】因为x2+xy=0,所以x(x+y)=0,所以x=0或x+y=0,所以方程x2+xy=0表示两条直线.答案:两条直线5.若方程ax2＋by＝4的曲线经过
5、点A(0,2)和则a＝，b＝.【解析】因为曲线经过点A(0,2)和所以解得：a＝16-8,b＝2.答案：16-82考点1定义法求点的轨迹方程【典例1】(1)(2014·北京模拟)△ABC的顶点A(-5,0),B(5,0),△ABC的内切圆圆心在直线x=3上,则顶点C的轨迹方程是.(2)已知圆C与两圆x2+(y+4)2=1,x2+(y-2)2=1外切,圆C的圆心轨迹方程为L,设L上的点与点M(x,y)的距离的最小值为m,点F(0,1)与点M(x,y)的距离为n.①求圆C的圆心轨迹L的方程;②求满足条件m=n的点M的轨迹Q的方程.【解题视点】(1)根据题设条件,
6、寻找动点C与两定点A,B距离的差满足的等量关系
7、CA
8、-
9、CB
10、=6,由双曲线的定义得出所求轨迹为双曲线的一部分,再求其方程.(2)①将圆C与另外两圆都相外切,转化为圆心距与两圆半径和之间的关系.②m=n说明到定点的距离与到定直线的距离相等.【规范解答】(1)如图,
11、AD
12、=
13、AE
14、=8,
15、BF
16、=
17、BE
18、=2,
19、CD
20、=
21、CF
22、,所以
23、CA
24、-
25、CB
26、=8-2=6.根据双曲线的定义,所求轨迹是以A,B为焦点,实轴长为6的双曲线的右支,方程为=1(x>3).答案:=1(x>3)(2)①两圆半径都为1,两圆圆心分别为C1(0,-4),C2(0,2),由题意得
27、
28、CC1
29、=
30、CC2
31、,可知圆心C的轨迹是线段C1C2的垂直平分线,C1C2的中点为(0,-1),直线C1C2的斜率不存在,故圆心C的轨迹是线段C1C2的垂直平分线,其方程为y=-1,即圆C的圆心轨迹L的方程为y=-1.②因为m=n,所以M(x,y)到直线y=-1的距离与到点F(0,1)的距离相等,故点M的轨迹Q是以y=-1为准线,点F(0,1)为焦点,顶点在原点的抛物线,而=1,即p=2,所以,轨迹Q的方程是x2=4y.【易错警示】准确把握双曲线的定义在本例(1)中易出现＝1的错误结果，其原因是对双曲线的定义理解错误或没有注意到顶点C始终在x＝3的右侧.【规
32、律方法】定义法求轨迹方程的适用条件及关键(1)适用条
