相似三角形与定值问题.doc

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1、相似三角形与定值问题1、如图，已知平面直角坐标系中，A（4，0），P为y轴负半轴上一动点，OM⊥AP于点M，C为OA上一点，且AO=2OC，过点A和点M分别作x轴和CM的垂线相交于点E，则当P点在y轴负半轴上运动时，OP•ME的值是否发生变化，若不变，求出值；若变化，求出变化范围。解：连接CEMC为斜边OA的中线，所以MC=AC→∠1=∠2→∠3=∠4→EM=EA，故CE为AM的中垂线易得∠5=∠1，可得△AOP∽△EAC，故→OP×ME=AO×AC=82、如图，已知平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，C为

2、线段OA的中点，F为BC上一点，且CF=OB，连AF并延长交y轴于点E，则的值是否发生变化，证明你的结论.解：过点F作FT⊥x轴，垂足为点T。A（3，0）；C（，0）；B（0，-3）；FC=；BC=△CTF∽△COB→→FT=，CT=→BF=BC-CF=FC为△AOF的AO边上的中线，且CF=OB=OA，易得△AOF为直角三角形（∠OFA=90°）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得∠CFA=∠CAF，又因为∠CAF=∠EOF，∠CFA=∠EFB→∠EFB=∠EOF，故△BEF∽△BFO→→BF2=BE×BO→

3、BE=→OE=3-BE=→=183、已知平面直角坐标系中，直线经过一定点A，直线交x轴于点B，交y轴于点C。（1）如图1，过B点作BD⊥x轴，且BD=OC，取OB,AD,OC的中点F,E,H，判断△EFH的形状并证明。（2）如图2，以O1（3，）为圆心，2为半径作⊙O1交直线y1于点P，Q，且直线y1交线段BC于点N，M为线段PQ的中点，探究：AM•AN的值是否发生变化？若不变，求其值。解：要用到中点坐标公式、两点间距离公式、两直线垂直时，k1k2=-1（1）FH=，FE=，EH=，由勾股定理的逆定理可得，△EFH为直角

4、三角形（2）过点N作NT⊥x轴，连接O1M并延长交x轴于点R将两直线联立起来解得N（，）直线，则与之垂直的直线O1R的解析式为：y=x+-4，所以R（3-4k，0）显然Rt△ANT∽Rt△ARM→→AM•AN=AR×AT=（3-4k-1）（1-）=（2-4k）()=1084、如图，平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，以AB为直角边做Rt△ABD，其中∠ABD=90，BD交x轴于点C，AD交y轴于点E，P为线段BC上一动点，过P点作直线与x轴平行，交AB和DA的延长线分别于点M、N，现给出条件：①BC=CD；

5、②DE=CD.请你从中挑选一个条件证明：当P点运动时，PM+PN是定值，并求出这个值。解：选①BC=CDB（0，2），A（4，0）显然Rt△BOC∽Rt△AOB→→CO=，即C（-，0）△BPM∽△BCA→①△DPN∽△DCA→②①+②得，+=+，又因为BC=CD，所以+=+=2，故PM+PN=2CA=105、如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA＝OB＝1，这条曲线是函数y＝的图像在第一限内的一个分支，点P是这条曲线的任意一点，它的坐标是（a，b），由点P向x轴、y轴

6、所作的垂线PM、PN（点M、N为垂足）分别与直线AB相交于点E和F。（1）求△OEF的面积（a，b的代数式表示）；（2）△AOF与△BOE是否一定相似，如果一定相似，请证明；如果不一定相似，请说明理由；（3）当点P在曲线上移动时，△OEF随之变动，指出在△OEF的三个内角中，是否有大小始终保持不变的角？若有，请求出其大小；若没有，请说明理由。(答案在后面)86、如图，已知平面直角坐标系中，直线交x轴于点B，交y轴于点C。M为第一象限内一点，且MC垂直于OC，连OM，作CP⊥OM于点P，连BP，过P点作EP⊥BP交y轴于点

7、E，问：当点M运动时，的值是否发生变化，若不变求出值；若变化求出变化范围。解：显然∠CPE=∠OPB，∠CEP=∠OBP，故△PCE∽△POB→又△CPM∽△OPC→故可得，又因为OB=OC，所以CE=CM，故=17、如图，以原点O为圆心，2为半径的⊙O交坐标轴于A,B,C,D四点，M为OA上一点，BM的延长线交⊙O于N，过N的切线交x轴于点P。（1）若M为OA的中点，求P点坐标。（2）若OA=OM，求△PMN的周长。（3）在条件（2）的情况下，E为劣弧AB上一点，连BE并延长交x轴于点Q，连PE，在下列条件:①E为中点

8、；②E为线段BQ中点；③PE为⊙O切线中，选取一个作为条件来证明解：过点N作NT⊥x轴（1）M（，0），B（0，2），得BM=，由相交弦定理得，BM×NM=CM×AM→MN=8△BOM∽△NTM→→NT=，TM=→N（，）显然Rt△OTN∽Rt△NTP→→TP=→PO=+=，故P（，0）（2）由OA=OB=OM，→O