缓和曲线的定义及公式推导.docx

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1、缓和曲线计算公式的推导对于搞公路铁路工程的人来说，缓和曲线并不陌生，它是在直线和圆曲线之间的一段过渡曲线，其目的是使曲线的曲率半径连续变化，从而使车辆的向心加速度变化连续，降低旅客由车辆转弯引起的不适感。缓和曲线类型有回旋线、三次抛物线、Bloss曲线、正弦一波型、半波正弦型等曲线。而在我国回旋线被广泛采用，故本文详细介绍回旋线作为缓和曲线的计算方法，顺便讲一点有趣的历史。一、回旋线的定义回旋线(clothoid)又称为欧拉螺旋线（Eulerspiral）、羊角螺旋（Cornuspirals），菲涅尔螺旋（Fresnelspirals）、辐射螺旋线（Radiationhelix），它被定

2、义为：线上任意点的曲率半径与该点到坐标原点的曲线长成反比的曲线。二、为什么需要缓和曲线回旋线最重要的性质—曲率随弧长线性变化回旋线的曲率是随弧长线性变化的，这也是它能作为缓和曲线的原因，下面将给出证明。三、预备一些数学背景知识1、任意曲线的弧长微分公式推导如图所示，笛卡尔坐标系下，在曲线上任取一段弧微元ds，当ds足够小时，可认为弧线和弦线相等，则有：ⅆs=dx2+dy2而dy=y'ⅆx，则有：ⅆs=dx2+y'ⅆx2=1+y'2ⅆx特别的，当曲线为参数方程形式时x=fty=gtds=f'2t+g'2tdt2、任意曲线的曲率公式曲线的曲率（curvature）是单位切向量对于弧长的旋转速

3、度，也就是弧的切线偏转角与该弧长之比的绝对值，通过微分来定义，曲率表明曲线某一点附近的弯曲程度。其表达式为：k=ⅆθⅆs式中：k表示曲率，ⅆθ表示曲线在该点处切线与x轴夹角的变化微元，也等于曲线在该点处的偏转角微元，ⅆs表示曲线的长度变化微元,加绝对值是为了保证曲率是正值。下面将给出曲率求解过程：设曲线的方程为y=fx，且具有二阶导数，则曲线在点M处的切线斜率为：y'=tanθ则y''=ⅆtanθⅆθⅆθⅆx=sec2θⅆθⅆx即ⅆθⅆx=y''1+tan2θ=y''1+y'2又ds=1+y'2ⅆx,故y=fx在点M处的曲率为：k=ⅆθⅆs=y''1+y'2ⅆx1+y'2ⅆx=y''1+

4、y'232这就是曲率方程的一般形式，特别地，当曲线为参数方程形式时x=fty=gtk=f'tg''t-g'tf''tf'2t+g'2t32三、回旋线方程的推导我们从回旋线的定义可以得到它的重要性质，即曲线上任意点的曲率半径与该点到坐标原点的曲线长成反比。即l∝1ρ式中：ρ为曲线上一点的曲率半径；l为曲线上一点距坐标原点的曲线长我们不妨设这个比例系数为C即ρl=C对于任意曲线我们可以列出以下微分方程：ⅆl=ρ⋅ⅆβ（1）ⅆx=ⅆl⋅cosβ（2）ⅆy=ⅆl⋅sinβ（3）式中：ⅆl为曲线上任意一点附近的弧微分ⅆβ为曲线上任意一点的切向量偏转角的微分β为曲线上任意一点的切线与x轴正方向的夹角

5、在这里，只要我们以ρl=C代入（1），就可以让回旋线独有的性质与一般曲线的性质得到综合。即ⅆl=Cl⋅ⅆβlⅆl=C⋅ⅆβ在这里，只要我们对两边同时积分，就可以将ⅆβ、ⅆl转化为β、l，从而建立起β、l的直接关系，当把这个关系应用到（2）（3）时，方程的数量将会减少，这才是我们的目的。即∫lⅆl=∫C⋅ⅆβl22=C⋅ββ=l22C在这里，我们对sinβ,cosβ应用泰勒展开：ⅆx=ⅆl⋅cosβ=1-β22!+β44!-β66!+…dl将β=l22C代入上式得：=1-12(l22C)2+124(l22C)4-1720(l22C)6+…dl=1-l48C2+l8384C4-l124608

6、0C6+…dl同理，可得ⅆy=ⅆl⋅sinβ=l22C2-l648C3+l103840C5-l14645120C7+…dl对ⅆx，ⅆy的泰勒展开式两边同时进行积分得：x=∫ⅆx=∫1-l48C2+l8384C4-l1246080C6+…dl=l-l540C2+l93456C4-l13599040C6+…同理可得：y=∫ⅆy=∫l22C-l648C2+l103840C4-l14645120C7+…dl=l36C-l7336C2+l1142240C4-l159676800C7+…这里有一个问题，不知各位发现没有？在（2）（3）式得出后，为什么不直接对两边进行积分，而是先进行泰勒展开，使之成多

7、项式相加的形式，再进行积分，这样岂不是多此一举？不妨让我们直接对（2）（3）式进行积分，看看会有什么结果，究竟哪一种更为简单。ⅆx=ⅆl⋅cosβ对等号两边同时进行积分∫ⅆx=∫ⅆl⋅cosβ将将β=l22C代入上式得：x=∫cosl22Cⅆl（4）用换元法进行积分，令t=l22C，则ⅆt=dl22C=lCdl（5）将（5）代入（4）得：x=Cl∫cost2ⅆt同理，你也将得到y=Cl∫sint2ⅆt值得注意的是，积分式前面的系数C