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《高等数学-线性代数-习题答案第二章.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第二章习题2-11.证明：若xn=a,则对任何自然数k，有xn+k=a.证：由，知，，当时，有取，有，，设时（此时）有由数列极限的定义得.2.证明：若xn=a,则∣xn∣=
2、a
3、.考察数列xn=(-1)n，说明上述结论反之不成立.证：而于是，即由数列极限的定义得考察数列，知不存在，而，，所以前面所证结论反之不成立。3.证明：xn=0的充要条件是∣xn∣=0.证：必要性由2题已证，下面证明充分性。即证若，则，由知，，，设当时，有由数列极限的定义可得4.利用夹逼定理证明：20(1)=0；(2)=0.证：（1）因为而且，，所以由夹逼定理，得.（2
4、）因为，而且，所以，由夹逼定理得5.利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在.(1)x1＞0,xn+1=，n=1,2,…；(2)x1=,xn+1＝,n=1,2,…；(3)设xn单调递增，yn单调递减，且(xn-yn)=0,证明xn和yn的极限均存在.证：（1）由及知，有（）即数列有下界。又所以为单调递减有下界的数列，故有极限。（2）因为，不妨设，则故有对于任意正整数n，有，即数列有上界，20又，而,，所以即，即数列是单调递增数列。综上所述，数列是单调递增有上界的数列，故其极限存在。（3）由数列单调递增，单调递减得，。又由知数列有界，于
5、是存在M>0，使,由及得，，由及得，，于是，数列是单调递增有上界的数列，是单调递减有下界的数列，所以它们的极限均存在。习题2-21.证明：f(x)=a的充要条件是f(x)在x0处的左、右极限均存在且都等于a.证：先证充分性：即证若，则.由及知：,当时，有，当时，有。取，则当或时，有，而或就是，于是，当时，有，所以.再证必要性：即若，则,由知，，当时，有，由就是或，于是，当20或时，有.所以综上所述，f(x)=a的充要条件是f(x)在x0处的左、右极限均存在且都等于a.2.证明：若f(x)=a,则∣f(x)∣=
6、a
7、.并举例说明该命题之逆命题
8、不真.证：f(x)=a，当时，，而，于是，当时，有由函数极限的定义知。例，，而故逆命题不真。3.(1)利用极限的几何意义确定(x2+a),和；(2)设f(x)=，问常数a为何值时，f(x)存在.解：（1）因为x无限接近于0时，的值无限接近于a，故.当x从小于0的方向无限接近于0时，的值无限接近于0，故.（2）若存在，则，由（1）知，所以，当时，存在。4.利用极限的几何意义说明sinx不存在.解：因为当时，的值在-1与1之间来回振摆动，即不无限接近某一定直线，亦即不以直线为渐近线，所以不存在。20习题2-31.举例说明：在某极限过程中，两个无
9、穷小量之商、两个无穷大量之商、无穷小量与无穷大量之积都不一定是无穷小量，也不一定是无穷大量.解：例1：当时，都是无穷小量，但由（当时，）不是无穷大量，也不是无穷小量。例2：当时，与都是无穷大量，但不是无穷大量，也不是无穷小量。例3：当时，是无穷小量，而是无穷大量，但不是无穷大量，也不是无穷小量。2.判断下列命题是否正确：(1)无穷小量与无穷小量的商一定是无穷小量；(2)有界函数与无穷小量之积为无穷小量；(3)有界函数与无穷大量之积为无穷大量；(4)有限个无穷小量之和为无穷小量；(5)有限个无穷大量之和为无穷大量；(6)y=xsinx在(-∞
10、，+∞)内无界，但xsinx≠∞；(7)无穷大量的倒数都是无穷小量；(8)无穷小量的倒数都是无穷大量.解：（1）错误，如第1题例1；（2）正确，见教材§2.3定理3；（3）错误，例当时，为无穷大量，是有界函数，不是无穷大量；（4）正确，见教材§2.3定理2；（5）错误，例如当时，与都是无穷大量，但它们之和不是无穷大量；（6）正确，因为，正整数k，使，从而，即在内无界，又，无论多么大，总存在正整数k，使，使，即时，不无限增大，即；（7）正确，见教材§2.3定理5；（8）错误，只有非零的无穷小量的倒数才是无穷大量。零是无穷小量，但其倒数无意义。
11、3.指出下列函数哪些是该极限过程中的无穷小量，哪些是该极限过程中的无穷大量.(1)f(x)=,x→2;(2)f(x)=lnx，x→0+，x→1,x→+∞；20(3)f(x)=,x→0+，x→0-；(4)f(x)=-arctanx,x→+∞;(5)f(x)=sinx,x→∞;(6)f(x)=，x→∞.解：（1），即时，是无穷小量，所以是无穷小量，因而也是无穷大量。（2）从的图像可以看出，，所以，当时，时，是无穷大量；当时，是无穷小量。（3）从的图可以看出，，所以，当时，是无穷大量；当时，是无穷小量。（4），当时，是无穷小量。（5）当时，是无穷
12、小量，是有界函数，是无穷小量。（6）当时，是无穷小量，是有界变量，是无穷小量。习题2-41.若f(x)存在，g(x)不存在，问［f(x)±g(x)］,［f(x)·g(x)］是否存
