福州大学高等数学A.doc

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1、福州大学高等数学A、B（上）期中考试试卷2011.11.27（参考解答）一．单项选择（共18分，每小题3分）1.设，则在内为（　Ａ　　）无界函数　　周期函数　　单调函数　　偶函数2.函数在点处可导是在点处连续的（C）充分必要条件必要条件充分条件既非充分也非必要条件3.若，则（）24684.若可微，则（）5.曲线上切线平行于直线的点是（）6.函数在点的某个邻域内连续，且，则函数在点处（）可导且无极值有极小值有极大值二．填空题（共16分，每小题2分）1.设的定义域是，则的定义域是2.3.若，则4.函数，则曲线在内为上凸，在内为下凸，点为曲线的拐点。5.设，则6

2、.由方程所确定的函数在点处的导数7.设，则8.设存在，且，则三．计算题（每小题7分，共14分）1，,求解：由于，对任意自然数，有即有而，故由夹逼法则知，2.求解：四．计算题（每小题7分，共14分）1.设，求解：对方程两边微分得到：，故从而2.，求解：或者：由已知条件得：，故五．计算题（每小题8分，共16分）1.求解：另解：2.求函数的单调区间和极值。解：函数的定义域是，且是连续函数。，令得到函数的驻点，同时可知函数在点处不可导。容易看出，当或者时；当时。因此，函数单调递增的区间为和；单调递减的区间为函数在处取得极大值；在处取得极小值六．应用题（每小题8分，

3、共16分）1.设，确定常数使得在内可导。解：由于，。要使函数可导，首先必须连续，即应该有，也即当时，，，要使函数可导，必须有，即当，时函数在处可导，而函数在其它点处可导是显然的，故在内可导。2.在椭圆的第一象限上求一点的坐标，使得由此椭圆在点的切线与两条坐标轴所围成的三角形的面积最小。解：设点为椭圆的第一象限上的一个点，则该点处的切线方程为：切线在两条坐标轴上的截距分别为：，故切线与坐标轴围成的三角形面积为：为方便起见，记则取最小值当且仅当取最大值。令解得此时，点容易验证，此时函数取最小值因此所求点就是七．证明题（6分）设在上连续，内可导，且证明：至少存在

4、一点使得证明：首先，由于在上连续，以及，可得：设，则由已知条件，在上连续，内可导，并且，故由定理知，至少存在一点使得，而，因此