测量平差的数学模型.docx

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1、本节重点：（1）测量平差的函数模型定义，类型；测量平差的数学模型包括：条件平差法模型、间接平差法模型、附有参数的条件平差法模型、附有限制条件的间接平差法模型、综合平差模型；（2）测量平差的随机模型。本节教学思路：首先说明平差的数学模型分两类：函数模型与随机模型，进而分别阐述其定义、分类及建立的方法和模型的具体形态。教学内容：一、平差模型的定义与分类1．从模型的性质分：函数模型、随机模型，函数模型连同随机模型称平差的数学模型；2．函数模型又分为：条件平差法模型、间接平差法模型、附有参数的条件平差法模型、附有限制条件的间接平差法模型、综合平差模型；二、各类函

2、数模型的建立（一）概述1．函数模型定义：在科学技术领域，通常对研究对象进行抽象概括，用数学关系式来描述它的某种特征或内在的联系，这种数学关系式就称为函数模型。2．函数模型的意义与特点函数模型是描述观测量与待求量之间的数学函数关系的模型。对于一个平差问题，建立函数模型是测量平差中最基本、最重要的问题，模型的建立方法不同，与之相应就产生了不同的平差方法。函数模型有线性与非线性之分，测量平差通常是基于线性函数模型，当函数模型为非线性时（如（2-1-4）式），总是要将其线性化。（二）各种经典平差方法及其线性函数模型的建立方法。1.条件平差法及其函数模型首先通过两

3、个例子，来说明条件平差函数模型的建立方法。图2-2Dh1h2h3h5h4h6ABC在图2-1中，观测了三个内角，n=3，t=2，则r=n-t=1,存在一个函数关系式（条件方程），可以表示为：令=[111]=[]=[-180]则上式为（2-2-1）再如图2-2水准网，D为已知高程水准点，A、B、C均为待定点，观测值向量的真值为]其中n=6，t=3，则r=n-t=3，应列出3个线性无关的条件方程，它们可以是：令则上面条件方程组可写为（2-2-2）一般而言，如果有n个观测值，必要观测个数为t，则应列出r=n-t个条件方程，即（2-2-3）如果条件方程为线性形式

4、，则可以直接写为（2-2-4）将代入（2-2-4）式，并令（2-2-5）则（2-2-4）式为（2-2-6）（2-2-4）或（2-2-6）式即为条件平差的函数模型。以此模型为基础的平差计算称为条件平差法。S3S2S1L3L2L1BAC图2-32.附有参数的条件平差法及其函数模型在平差问题中，设观测值个数为n，必要观测个数为t，则可以列出r=n-t个条件方程，现又增设了u个独立量作为未知参数，且0

5、形ABC中，观测了三个内角、、，n=3，t=2，r=n-t=1，平差时选∠A为平差参数，即u=1，此时条件方程个数应为r+u=2个，它们可以写成：令，，则上式可写成一般而言，在某一平差问题中,观测值个数为n，必要观测个数为t，多余观测个数为r=n-t，再增选u个独立参数，0

6、几何模型可以由t个独立的必要观测量唯一的确定下来，因此，平差时若把这t个量都选作参数，即u=t（这是独立参数的上限），那么通过这t个独立参数就能唯一地确定该几何模型，换句话说，模型中的所有量都一定是这t个独立参数的函数，每个观测量也都可以表达为所选t个独立参数的函数。选择几何模型中t个独立量为平差参数，将每一个观测量表达成所选参数的函数，共列出r+u=r+t=n个这种函数关系式，以此作为平差的函数模型的平差方法称为间接平差。如图2-3三角形ABC中，观测了三个内角、、，n=3，t=2，r=n-t=1，平差时选∠A、∠B为平差参数，即，u=2，共需列出r+

7、u=3个函数关系式，列立方法是将每一个观测量表达成所选参数的函数，由图知：（2-2-11）方程的个数恰好等于观测值的个数。令，，则（2-2-11）式可写为（2-2-12）一般而言，如果某一平差问题中,观测值个数为n，必要观测个数为t，多余观测个数为r=n-t，再增选u个独立参数，u=t，则总共应列出c=r+u=n个函数关系式，其一般形式为　　　　　　　　　　如果这种表达式为线性的，一般为　（2-2-13）将代入上式，并令（2-2-14）则（2-2-13）式可写为（2-2-15）以上（2-2-13）或（2-2-15）就是间接平差的函数模型。其中（2-2-1

8、3）称为观测方程。4.附有限制条件的间接平差及其函数模型如果在某平差问题中，选取