2020届高考数学大一轮复习讲义：第五章 平面向量 第3讲 平面向量的数量积及其应用.3 Word版含答案.pdf

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1、§5.3平面向量的数量积最新考纲考情考向分析1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．主要考查利用数量积的定义解决数量积的运2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系．算、射影、求模与夹角等问题，考查利用数量积的坐标表示求两个向量的夹角、模以及3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量判断两个平面向量的平行与垂直关系．一般数量积的运算．以选择题、填空题的形式考查，偶尔会在解4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数答题中出现，属于中档题.量积判断两个平面向量的垂直关系.1．向量的夹角→→已知两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB

2、就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是[0，π]．2．平面向量的数量积设两个非零向量a，b的夹角为θ，则

3、a

4、

5、b

6、·cosθ叫作a与b定义的数量积，记作a·b

7、a

8、cosθ叫作向量a在b方向上的射影，

9、b

10、cosθ叫作向量b射影在a方向上的射影a·b的数量积等于a的长度

11、a

12、与b在a的方向上的射影

13、b

14、cos几何意义θ的乘积3.平面向量数量积的性质设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则(1)e·a＝a·e＝

15、a

16、cosθ.(2)a⊥ba·b＝0.(3)当a与b同向时，a·b＝

17、a

18、

19、b

20、；当a与b反向时，a·b＝

21、－

22、a

23、

24、b

25、.特别地，a·a＝

26、a

27、2或

28、a

29、＝a·a.a·b(4)cosθ＝.

30、a

31、

32、b

33、(5)

34、a·b

35、≤

36、a

37、

38、b

39、.4．平面向量数量积满足的运算律(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a＝(x，y)，b＝(x，y)，则a·b＝xx＋yy，由此得到11221212(1)若a＝(x，y)，则

40、a

41、2＝x2＋y2或

42、a

43、＝x2＋y2.→(2)设A(x，y)，B(x，y)，则A，B两点间的距离

44、AB

45、＝

46、AB

47、＝x

48、－x2＋y－y2.11222121(3)设两个非零向量a，b，a＝(x，y)，b＝(x，y)，则a⊥b⇔xx＋yy＝0.11221212a·bxx＋yy(4)若a，b都是非零向量，θ是a与b的夹角，则cosθ＝＝1212.

49、a

50、

51、b

52、x2＋y2x2＋y21122知识拓展1．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b<0且a，b不共线．2．平面向量数量积运算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.

53、题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量在另一个向量方向上的射影为数量，而不是向量．(√)(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．(√)(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.(×)(4)(a·b)c＝a(b·c)．(×)π(5)两个向量的夹角的范围是0，2.(×)(6)若a·b>0，则a和b的夹角为锐角；若a·b<0，则a和b的夹角为钝角．(×)题组二教材改编2．已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝________.答案12解析

54、∵2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0，∴10＋2－k＝0，解得k＝12.3．已知

55、a

56、＝5，

57、b

58、＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的射影为________．答案－2解析由数量积的定义知，b在a方向上的射影为

59、b

60、cosθ＝4×cos120°＝－2.题组三易错自纠4．设向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)，如果向量a＋2b与2a－b平行，那么a与b的数量积为________．5答案2解析a＋2b＝(－1＋2m,4)，2a－b＝(－2－m,3)，由题

61、意得3(－1＋2m)－4(－2－m)＝0，则1m＝－，215所以a·b＝－1×－2＋2×1＝2.→→5．已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量AB在CD方向上的射影为________．32答案2→→解析AB＝(2,1)，CD＝(5,5)，→→由定义知，AB在CD方向上的射影为→→AB·CD1532＝＝.→522

62、CD

63、→→→6．已知△ABC的三边长均为1，且AB＝c，BC＝a，CA＝b，则a·b＋b·c＋a·c＝________.3答案－2解析∵〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈a，c〉＝120°，

64、a

65、

66、＝

67、b

68、＝

69、c

70、＝1，1∴a·b＝b·c＝a·c＝1×1×cos120°＝－，23∴a·b＋b·c＋a·c＝－.2题型一平面向量数量积的运算→→→→→→1．设四边形ABCD为平行