2019第四节重积分的应用课件.ppt

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1、第四节重积分的应用一、重积分的几何应用*二、重积分的物理应用三、利用对称性化简重积分四、小结几何应用和物理应用求平面区域面积求空间区域体积求曲面的面积求物体质量求物体质心求转动惯量求引力一、重积分的几何应用1、平面区域面积：为D的面积,则解：解:2、空间区域体积：曲顶柱体的顶为连续曲面则其体积为：占有空间有界闭区域的立体的体积为：例3.求球体被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积.(P148-例6)解:设由对称性可知例4.求半径为a的球面与半顶角为的内接锥面所围成的立体的体积.（P163-例4）解:在球坐标系下空间立体所

2、占区域为则立体体积为(1)设曲面的方程为：如图，3、曲面的面积:曲面S的面积元素曲面面积公式为：(3)设曲面的方程为：曲面面积公式为：(2)设曲面的方程为：曲面面积公式为：同理可得例5.计算半径为a的球的表面积.解:设球面方程为球面面积元素为方法2：利用直角坐标方程.（方法1）利用球坐标方程.见P167---例1例6.计算双曲抛物面被柱面所截解:曲面在xoy面上投影为则出的面积A.见P168---例2*二、重积分的物理应用1、平面薄片的质心当薄片是均匀的，质心称为形心.由元素法解2、平面薄片的转动惯量薄片对于轴的转动惯量薄片对于轴

3、的转动惯量解解薄片对轴上单位质点的引力为引力常数3、平面薄片对质点的引力解由积分区域的对称性知所求引力为三、利用对称性化简重积分（补充内容）1、利用对称性化简二重积分：（偶倍奇零）f(x,y)关于y的奇偶性可类似定义，则有以下重要结论：(1)若D关于x=0(y轴)对称(如图),则(2)若D关于y=0(x轴)对称(如图),则(3)若D关于y=0(x轴)和x=0(y轴)对称(如图),且f(x,y)关于x和y均为偶函数，则解：(4)若D关于原点对称(如图),则(5)若D关于直线y=x对称(如图),则(6)若D关于直线y=x对称(如上图)

4、,且f(x,y)关于x和y都对称（即f(x,y)=f(y,x)），则2、利用对称性化简三重积分：f(x,y,z)关于x和y的奇偶性可类似定义，有以下重要结论：(1)若Ω关于z=0(xoy平面)对称，则例.设计算提示:利用对称性原式=奇函数相应地，若Ω关于yoz平面(zox平面)对称，f(x,y,z)关于x（或y）有奇偶性，可得相应结论。(2)若Ω关于三个坐标面对称，且f(x,y,z)关于x,y,z均为偶函数，则例.设计算内容小结1、几何应用：平面区域面积、空间区域体积、曲面的面积2、计算要简便充分利用对称性应用换元公式*说明:三重

5、积分也有类似二重积分的换元积分公式:对应雅可比行列式为