三重积分的概念与计算一课件.ppt

《三重积分的概念与计算一课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、§5.4三重积分的概念与计算目的：(1)理解三重积分的概念与性质；(2)熟练掌握直角坐标系下三重积分的计算.重点：(1)三重积分的概念；(2)直角坐标系下三重积分的计算.难点：积分区域的不等式表示.一、三重积分的概念设有一物体占有空间闭区域,物体的体密度在区域上连续,求此物体的质量m.将空间区域任意分成n个小区域,并以表示第i个小区域的体积,以表示第i个小区域的质量.那么oxyz1.引例类似二重积分解决问题的思想,采用“大化小,常代变,近似和,求极限”解决方法:设存在,称为体积元素,若对作任意分割:任意取点则称此极限为函数在上的三重积分.在直角坐标系下常写作下列“乘积

2、和式”极限记作机动目录上页下页返回结束2.三重积分的定义二、直角坐标系下三重积分的计算平行于z轴的直线与的边界面至多相交于两个点.直角坐标系中将三重积分化为三次积分思想是1.投影法(先线后面法)条件：对于上的任意一点均满足不等式：则例1将三重积分化为三次积分，其中例2将三重积分化为三次积分，其中积分区域由椭圆抛物面与平面围成.由与三个坐标面所围.2.切片法(先面后线法)切片法的一般步骤:(1)把积分区域向某轴（如z轴）投影,得投影区间(2)(3)计算二重积分(4)最后计算积分即对用过z点且平行xOy面的平面去截,得截面Dz;其结果为z的函数F(z);当被积函数仅与变量

3、z有关,注且截面Dz易知时,例3计算三重积分，其中是由椭球面所成的空间闭区域.法简便.用上述方思考:若被积函数为f(y)时,如何计算简便?例4设计算提示:利用对称性原式=奇函数机动目录上页下页返回结束例5计算其中解:利用对称性机动目录上页下页返回结束二、利用柱面坐标计算三重积分1.柱面坐标系规定直角坐标与柱面坐标的关系为就叫点M的柱面坐标.设M(x,y,z)为空间内一点,并设点M在xOy面上的投影P的极坐标为则这样的三个数在柱面坐标系中，三个坐标面分别为圆柱面；半平面；平面．柱面坐标的实质就是将xOy面上的点用极坐标表示.r为常数θ为常数z为常数如图所示,在柱面坐标系中体积元素

4、为因此其中机动目录上页下页返回结束其中为由例6.计算三重积分所围解:在柱面坐标系下及平面柱面成半圆柱体.机动目录上页下页返回结束例7.计算三重积分解:在柱面坐标系下所围成.与平面其中由抛物面原式=机动目录上页下页返回结束总结同时具备两种情形，比较适合用柱面坐标计算：(i)在坐标面上的投影区域用极坐标表示比较简单.如圆柱体：圆锥体：旋转抛物面：(ii)被积函数具有以下特征:三、利用球面坐标计算三重积分1.球面坐标系记投影向量与x轴正方向的规定正方向间的夹角为夹角为球面坐标.称为点M的设M(x,y,z)为空间内一点,向xOy平面投影,球面坐标与直角坐标之间的关系球面坐标系中的

5、三坐标面分别为原点为心的球面；过z轴的半平面．原点为顶点、z轴为轴的圆锥面；如图所示,在球面坐标系中体积元素为因此有其中机动目录上页下页返回结束例8.计算三重积分解:在球面坐标系下所围立体.其中与球面机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束由所围成。例9将三重积分化为球面坐标系下的三次积分，其中故在球坐标系下所围立体为且关于xoz分析:由曲面方程可知,立体位于xoy面上部,yoz面对称,并与xoy面相切,适用范围:1)积分域表面用球面坐标表示时方程简单;2)被积函数用球面坐标表示时变量互相分离.四.广义球坐标变换直角坐标与广义球坐标的关系例椭球的体积.内容小结作业：

6、练习册P471.三重积分的定义和计算;2.在直角坐标系下的体积元素(1)投影法(先线后面法)(2)切片法(先面后线法)3.利用柱面坐标计算三重积分；4.利用球面坐标计算三重积分.体积元素为体积元素为