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1、1.(2014·陕西高考理科·T5)已知底面边长为1,侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为 ( )A.B.4πC.2πD.【解题指南】根据截面圆半径、球心距、球半径构成直角三角形,满足勾股定理,求出球的半径,代入球的体积公式求解.【解析】选D.由正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,可设正四棱柱的上底所在截面圆的半径为R1,则+=1可得=;又侧棱长为,所以球心到截面圆的距离d=;由截面圆半径、球心距、球半径构成直角三角形,根据勾股定理得球半径R===1,代入球的体积公式得球的体积为.2.(2016·全国卷Ⅱ文科·T4)体积
2、为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为 ( )A.12πB.πC.8πD.4π【解题指南】利用正方体的体对角线就是球的直径求解.【解析】选A.因为正方体的体积为8,所以正方体的棱长为2,其体对角线长为2,所以正3.(2015·新课标全国卷Ⅱ理科·T9)已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点,若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为 ( )A.36πB.64πC.144πD.256π【解题指南】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时,三棱锥O-ABC的体积最大,利用VO-ABC=VC-AO
3、B列出关于半径R的方程,求出球的半径,然后求出球的表面积.【解析】选C.如图所示,当点C位于垂直于面AOB的直径端点时,三棱锥O-ABC的体积最大,设球O的半径为R,此时VO-ABC=VC-AOB=×R2×R=R3=36,故R=6,则球O的表面积为S=4πR2=144π.4.(2016·全国卷Ⅲ·文科·T11)与(2016·全国卷3·理科·T10)相同在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是 ( )A.4πB.C.6πD.【解题指南】注意当球和直三棱柱的三个侧面内
4、切时,球已不在直三棱柱内.【解析】选B.当球的半径最大时,球的体积最大.在直三棱柱内,当球和三个侧面都相切时,因为AB⊥BC,AB=6,BC=8,所以AC=10,底面的内切圆的半径即为此时球的半径r==2,直径为4>侧棱.所以球的最大直径为3,半径为,此时体积V=.方体的外接球的半径为,所以球的表面积为4π·()2=12π.5.（2010·辽宁高考文科·Ｔ11）已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC,AB⊥BC，SA=AB=1，BC=,则球O的表面积等于（）（A）4(B）3(C)2(D)【命题立意】本题考查了空间两点间距离公式和
5、球的表面积公式.【思路点拨】建立空间坐标系设球心坐标球的半径球的表面积【规范解答】选A.平面ABC，AB，AC平面ABC，，，故可以A为原点，AC所在的直线为轴，AS所在的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则,,,,设球心O坐标为，则点O到各顶点S，A，B，C的距离相等，都等于球的半径R.，解得，球的表面积为.故选A.【方法技巧】1.选用球心到各顶点的距离都相等来确定球心，才能求出半径，2.也可用另外的方法找到球心，因为∠ABC是直角，所以AC是过A，B，C三点的小圆的直径，所以球心在过AC和平面ABC垂直的平面上，可知球心在平
6、面SAC中，又因为球心到点S，A，C的距离都相等，且△SAC是直角三角形，所以球心就是斜边SC的中点，球的半径为SC的一半，3.另外，可将三棱锥S-ABC补成一个长方体进行求解.6.（2010·海南宁夏高考·理科T10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）（A）（B）（C）（D）【命题立意】本小题主要考查了几何体的外接球问题.【思路点拨】找出球与棱柱的相应关系，找出球的半径与三棱柱棱长之间的关系.【规范解答】选Ｂ.设球心为，设正三棱柱上底面为，中心为，因为三棱柱所有棱的长为，则可知，，又由球的相关性
7、质可知，球的半径，所以球的表面积为，故选Ｂ.7．（2011·辽宁高考文科·Ｔ10）已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，则棱锥S-ABC的体积为（）（A）(B)(C)(D)【思路点拨】找到直径的垂截面是解决本题的关键．【精讲精析】选C，设球心为，则是两个全等的等腰直角三角形斜边上的高，斜边故，且有，．∴=．8.（2011·辽宁高考理科·Ｔ12）已知球的直径=4，是该球球面上的两点，=，，则棱锥的体积为（）（A）（B）（C）（D）1【思路点拨】找到直径的垂截面是解决本题的关键．【精讲精析】选C.由
8、题意可知和是两个全等的直角三角形，过直角顶点分别作斜边上的高线，由于，求得，所以等边的面积为，所求棱锥的体积等于以为底的两个小三棱锥的体积的和，其高的和即为球的直径
