求圆锥曲线的离心率的常用方法.doc

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1、求圆锥曲线的离心率的常用方法一、根据条件先求出a，c，利用e=求解例1若椭圆经过原点，且焦点为F1(1，0)，F2(3，0)，则其离心率为()A.B.C.D.解析：由F1、F2的坐标知2c=3﹣1，∴c=1，又∵椭圆过原点，∴a﹣c=1，a+c=3，∴a=2，c=1,所以离心率e==.故选C.例2如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为()A.B.C.D2解析：由题设a=2，2c=6，则c=3，e==,因此选C二、构建关于a，c的齐次等式求解例3设双曲线﹣＝1(0

2、曲线的离心率为()A.2B.C.D.解析：由已知，直线L的方程为bx+ay-ab=0.由点到直线的距离公式，得＝c，又c2=a2+b2,∴4ab=c2,两边平方，得16a2(c2﹣a2)=3c4.两边同除以a4，并整理，得3e4-16e2+16=0.解得e2＝4或e2＝.又02，∴e2＝4，∴e＝2.故选A.例4双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1，F2，∠F1MF2＝120°，则双曲线的离心率为（）图2（A）（B）（C）（D）解析：如图2所示，不妨设M(0，b)，F1(-c,0),F2(c,0),则

3、MF1

4、=

5、MF2

6、=.又

7、F1F

8、2

9、＝2c，在△F1MF2中，由余弦定理，得cos∠F1MF2＝,即＝cos120°＝﹣，∴＝﹣，∵b2＝c2﹣a2，∴＝﹣，∴3a2＝2c2，∴e2＝，∴e＝.故选B.例5双曲线﹣＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率为()A.2B.C.D.解析：由条件易知，双曲线为等轴双曲线，∴a=b，∴c=a，∴e＝＝.故选C.三、根据曲线方程列出含参数的关系式，求e的取值范围例6设θ∈(0，)，则二次曲线x2cotθ﹣y2tanθ=1的离心率的取值范围为()A.(0，)B.(，)C.(，)D.(，+∞)解析：由x2cotθ﹣y2tanθ=1，θ∈(0，)，得a2＝ta

10、nθ，b2=cotθ,∴c2＝a2+b2＝tanθ+cotθ,∴e2＝＝＝1+cot2θ,∵θ∈(0，)，∴cot2θ>1,∴e2>2，∴e>.故选D.四、构建关于e的不等式，求e的取值范围例7如图，已知梯形ABCD中，｜AB｜＝2｜CD｜，点E分有向线段所成的比为λ，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点．当≤λ≤时，求双曲线离心率e的取值范围．图3解析：以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立如图3所示的直角坐标系xOy，则CD⊥y轴.因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称．依题意，记A(﹣c，0)，C(，h),E(

11、x0，y0)，其中c=｜AB｜为双曲线的半焦距，h是梯形的高．由定比分点坐标公式得x0＝＝，y0＝．设双曲线的方程为﹣＝1，则离心率e=.由点C、E在双曲线上，所以，将点C的坐标代入双曲线方程得﹣＝1①，将点E的坐标代入双曲线方程得()2－()2＝1②．再将e=①、②得﹣＝1，∴＝﹣1③，()2－()2＝1④．将③式代入④式，整理得（4－4λ）＝1＋2λ，∴λ＝1－．由题设≤λ≤得，≤1－≤．解得≤e≤．所以双曲线的离心率的取值范围为［，］．