有理数的简便运算技巧及常见错误.doc

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1、.一.符号与括号例1.计算分析：不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为1或为－1，如果按照将第一与第二项，第三与第四项，……，分别配对的方式计算，就能得到一系列的－1。解：下面需对n的奇偶性进行讨论：当n为偶数时，上式是个（－1）的和，即；当n为奇数时，上式是个（－1）的和，再加上最后一项，所以有说明：两种情况可以合并为：二.巧添辅助数例2.计算：解：原式三.巧用整体例3．购买5种物品，，，，的件数和用钱总数列成下表：..那么，购买每种物品各一件共需多少元？解：由已知表格：购买1件，3件，4件，5件，6件共需19

2、95元；所以购买2件，6件，8件，10件，12件共需2×1995元；又因为购买1件，5件，7件，9件，11件共需2984元；所以购买每种物品各一件共需　　2×1995－2984＝1006（元）说明：设购买物品i＝1，2，3，4，5则，①②由2×①－②得需要指出的是：我们无法计算每个，但我们能巧算出这个整体，整体思维常常会帮助我们算对，算快和算得巧妙。四.巧用凑整运算例4.计算：解：原式六.巧用拆项法例7.计算＝________分析：直接计算难上加难。应考虑运用拆项法消去部分项，从而使运算简单易行。利用上面介绍的反序相加

3、法，不难求得最后两项为，，而，同理，，那么本题就不难解决了。解：原式＝＝说明：形如的分数，可以拆成的形式。例8...解：应用关系式来进行“拆项”。原式　　　　　2.已知0为数轴的原点，A、B两点对应的数分别为1、2，设P1为AB的中点，P2为AP1的中点，…，P100为P99的中点，求P1，P2，P3，…，P100所对应的各数之和。3.计算：4.求和..2.解：设对应的数为所以，3.解：原式4.解：原式5.解：原式＝＝＝＝当我们认识了零、负整数和负分数后，就引出了有理数的概念。整数（正整数、零、负整数）和分数（正分数、

4、负分数）统称有理数，任何一个有理数都可以表示为一个既约分数均为整数且互素）。并且，有理数可以比较大小，有理数的和、差、积、商（分母不为零）仍为有理数，任意两个有理数之间都有无穷个有理数，有理数运算是中学数学中一切运算的基础，它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则，公式等正确、迅速地进行运算，同时还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性。【典型例题】一.巧用错位相减例1.；..解：∴原式或者用下面的“错位相减法”求和

5、。令，则将这两式错位相减得即再将这两式错位后式减去前式得二.巧用分析法例2.解：考察第n项n（n+1）如何分析，仔细观察后会发现：∴原式..说明：分析和错位相减是有理数运算中常用的技巧，在解题中应注意总结归纳规律，力求灵活应用。三.巧换元例3.计算：解：设，则原式例4.；解：直接计算较繁，仔细观察分母中涉及到三个连续整数：12345，12346，12347，可设字母n=12346，那么12345=n-1，12347=n+1，于是分母变为，即原式分母的值是1。∴原式=24690。四.巧相约例5.计算：解：原式五.巧用倒序

6、配对例6.计算：解：设原式，对括号各项倒序排列后，再设..，则：所以所以原式六.巧用倒数法例7.计算分析：因为与互为倒数，而比较容易计算，故此题只需先计算出后部分的结果即可。解：因为∴原式【模拟试题】（答题时间：30分钟）1.计算：2.计算：3.计算：4.计算：..【试题答案】1.解：设（1）则（2）则得：即（含整体思想）2.解：令则原式3.解：令19991998=a，则原式=4.解：设，把等式右边倒序排列，得将两式相加，得即，∴原式＝4005.