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《用Numerov算法求解一维无限深势阱的本征问题.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、2003年第5卷第3期巢湖学院学报No.3.,Vol.5.2003总第60期JournɑlofChɑohucollegeGenerɑlSeriɑlNo.60用Numerov算法求解一维无限深势阱的本征问题余瑞兰,蔺玉柱,崔光磊(安徽师范大学物理电信学院,安徽师范大学宣传部,安徽芜湖241000)摘要:用Numerov算法求解一维无限深势阱的十个本征值以及基态、第一、第二和第三激发态波函数的数值解,所得到的数值结果和解析解吻合很好,表明此算法有效可行。关键词:Numerov算法;一维无限深势阱;本征问题中图分类号:O24文献标识码:A文章编号:1672-2868(2003)03-
2、0043-05OnTheEigenProblemForTheOne-DimensionInfiniteDeepPotentialWellByUsingNu2merovArithmeticYURui-lanLINYu-zhuCUIGuang-lei(ANU,Anhuiwuhu,241000,China)Abstrɑct:Inthepresentpaper,byusingNumerovarithmeticweworkouttheeigenproblemfortheone-dimensioninfinitedeeppotentialwell,andteneigenvaluesaswe
3、llasthenu2mericsolutionsofwavefunctionatgroundstate,thefirst,thesecondandthethirdexcitedstateareobtained..Thenumericresultsareinagreementwiththecaseofanalysis,whichshowsourarithmeticisreliableandvalidity.Keywords:Numerovarithmetic;theone-dimensioninfinitedeeppotentialwell;theeigenproblem1、引言
4、对于用解析的方法较难计算或没有解析解的物理问题人们通常会采用数值求解,并取得了很好[1][2]的结果。Numerov算法(又叫Cowling算法)是计算方法中求解二阶微分方程的一种简单而高效[3]的算法。它比常用的Runge-Kutta法精度还高一阶。对于形如下式的微分方程:2dy22+k(x)y=s(x)(1)dx它的数值求解递推公式是:2222h25h2h2h(1+kn+1)yn+1-2(1-kn)yn+(1+kn-1)yn-1=(Sn+110Sn+Sn-1)(2)12121212其中h为xn+1-xn。作为算例,本文将这一算法应用到一维无限深势阱的本征问题,数值求解出本征
5、值和本征函数并和解析情况做比较分析。物理模型和具体算法如下:2、物理问题及其数学模型:许多物理问题都可以简化成一维无限深势阱。这是一种理想的模型,在一维情况下,它的势能在[6][7]一定区域(不防取0FxF1)为零,而在此区域外势能为无限大,数学表达式为收稿日期:2003-02-05作者简介:余瑞兰(1976-),女,安徽歙县人,安徽师范大学物理电信学院助教。·43·00FxF122hdφU(x)=,如图1。体系满足薛定谔方程:-2=Eφ,其中μ为体系质量,令k=∞x>1,或x<02μdx2μE2有:h2dφ22+kφ=0(3)dx边界条件为:φ
6、x=0=φ
7、x=0=0(4)(
8、3)(4)两式即一维无限深势阱这个物理问题的数学模型。这样一维无限深势阱的本征问题就变成对这个模型的求解。下面我们来数值求解边界条件为(4)的微分方程(3)。3、Numerov算法由于(3)式中S=0,据(2)式有2225h2h2h2φn+1=2(1-k)φn-(1+k)φn-1(1+K)(5)121212此式便是Numerov算法关于方程(3)的递推公式。为了启动这个递推,需要知道φ0φ,1,及k值。″′φ0已知为0,则据(3)式知φ0=0,于是φ0可取一任意数(在波函数没有归一化时可取任意数,但不要′′取0,否则会造成计算的溢出),为方便起见,不防取φ0=1,则φ1=φ0+
9、hφ0=h。这样,启动(5)式只差k值,我们采用打靶法来解决这个问题。主要思想是:猜一个k值后利用递推关系(5)式得到φN(x=1处的波函数),和边界条件φ(1)=0相比,若
10、φN-φ(1)
11、大于给定的允许误差,则调整k猜测值(采用简单搜索法),再一次递推,直至
12、φN-φ(1)
13、小于给定允许误差则迭代停止。本文给出程序的流程图(图2),限于篇幅,完整的程序不再给出。·44·4、数值结果的分析和讨论4.1对于(3)式,它的解析解为222nπhE=2μφ=2sin(nπx)n为整数(6)由此,可
