高考数学一轮复习 7.5 圆的方程教案.doc

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1、7.5圆的方程●知识梳理1.圆的方程（1）圆的标准方程圆心为（a，b），半径为r的圆的标准方程为（x－a）2+（y－b）2=r2.说明：方程中有三个参量a、b、r，因此三个独立条件可以确定一个圆.（2）圆的一般方程二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0.（*）将（*）式配方得（x+）2+（y+）2=.当D2+E2－4F＞0时，方程（*）表示圆心（－，－），半径r=的圆，把方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2－4F＞0）叫做圆的一般方程.说明：（1）圆的一般方程体现了圆方程的代数特点：a.x2、y2项系数相等且不为零.b.没有xy项.（2）当D2+E2－4F=0时，方

2、程（*）表示点（－，－），当D2+E2－4F＜0时，方程（*）不表示任何图形.（3）据条件列出关于D、E、F的三元一次方程组，可确定圆的一般方程.（3）圆的参数方程①圆心在O（0，0），半径为r的圆的参数方程为（θ为参数）.①x=rcosθ，y=rsinθ②圆心在O1（a，b），半径为r的圆的参数方程为（θ为参数）.②x=a+rcosθ，y=b+rsinθ说明：在①中消去θ得x2+y2=r2，在②中消去θ得（x－a）2+（y－b）2=r2，把这两个方程相对于它们各自的参数方程又叫做普通方程.2.二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件若上述二元二

3、次方程表示圆，则有A=C≠0，B=0，这仅是二元二次方程表示圆的必要条件，不充分.在A=C≠0，B=0时，二元二次方程化为x2+y2+x+y+=0，仅当（）2+（）2－4·＞0，即D2+E2－4AF＞0时表示圆.故Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是：①A=C≠0，②B=0，③D2+E2－4AF＞0.●点击双基1.方程x2+y2－2（t+3）x+2（1－4t2）y+16t4+9=0（t∈R）表示圆方程，则t的取值范围是A.－10，得7t2－6t－1<0，即－

4、点P（5a+1，12a）在圆（x－1）2+y2=1的内部，则a的取值范围是A.｜a｜＜1B.a＜C.｜a｜＜D.｜a｜＜解析：点P在圆（x－1）2+y2=1内部（5a+1－1）2+（12a）2＜1｜a｜＜.答案：D3.已知圆的方程为（x－a）2+（y－b）2=r2（r>0），下列结论错误的是A.当a2+b2=r2时，圆必过原点B.当a=r时，圆与y轴相切C.当b=r时，圆与x轴相切D.当b

5、b

6、，只有当

7、b

8、

9、b

10、

11、.答案：D4.（2005年北京海淀区期末练习）将圆x2+y2=1按向量a平移得到圆（x+1）2+（y－2）2=1，则a的坐标为____________.解析：由向量平移公式即得a=（－1，2）.答案：（－1，2）5.已知P（1，2）为圆x2+y2=9内一定点，过P作两条互相垂直的任意弦交圆于点B、C，则BC中点M的轨迹方程为____________.解析：Rt△OMC中，

12、MP

13、=

14、BC

15、（直角三角形斜边上的中线是斜边的一半）.故所求轨迹方程为x2+y2－x－2y－2=0.答案：x2+y2－x－2y－2=0●典例剖析【例1】（2003年春季北京）设A（－c，0）、B（c，0）

16、（c>0）为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a（a>0），求P点的轨迹.剖析：给曲线建立方程是解析几何的两个主要问题之一，其基本方法就是把几何条件代数化；主要问题之二是根据方程研究曲线的形状、性质，即用代数的方法研究几何问题.解：设动点P的坐标为（x，y），由=a（a>0）得=a，化简，得（1－a2）x2+2c（1+a2）x+c2（1－a2）+（1－a2）y2=0.当a=1时，方程化为x=0.当a≠1时，方程化为（x－c）2+y2=（）2.所以当a=1时，点P的轨迹为y轴；当a≠1时，点P的轨迹是以点（c，0）为圆心，

17、

18、为半径的圆.评述：本题主要考查直线、

19、圆、曲线和方程等基本知识，考查运用解析几何的方法解决问题的能力，对代数式的运算化简能力有较高要求.同时也考查了分类讨论这一数学思想.【例2】一圆与y轴相切，圆心在直线x－3y=0上，且直线y=x截圆所得弦长为2，求此圆的方程.剖析：利用圆的性质：半弦、半径和弦心距构成的直角三角形.解：因圆与y轴相切，且圆心在直线x－3y=0上，故设圆方程为（x－3b）2+（y－b）2=9b2.又因为直线y=x截圆得弦长为2，则有（）2+（）2=9b2，解得b=±1.故所求圆方程为（x－3）2+（y－1）2=9或（x+3