2018高考数学一轮复习第六章平面向量与复数第31课平面向量的数量积与平面向量应用教师用书.doc

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1、第31课平面向量的数量积与平面向量应用[最新考纲]内容要求ABC平面向量的数量积√平面向量的平行与垂直√平面向量的应用√1．平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量

2、a

3、

4、b

5、cosθ叫作向量a和b的数量积(或内积)．规定：零向量与任一向量的数量积为0.(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度

6、a

7、与b在a的方向上的投影

8、b

9、cosθ的乘积．2．平面向量数量积的运算律(1)交换律：a·b＝b·a；(2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.3．平面向量数量积的性质及其坐标表

10、示设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉.结论几何表示坐标表示模

11、a

12、＝

13、a

14、＝数量积a·b＝

15、a

16、

17、b

18、cosθa·b＝x1x2＋y1y2夹角cosθ＝cosθ＝a⊥ba·b＝0x1x2＋y1y2＝0

19、a·b

20、与

21、a

22、

23、b

24、的关系

25、a·b

26、≤

27、a

28、

29、b

30、

31、x1x2＋y1y2

32、≤·1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个向量的数量积是一个实数，向量的数乘运算的运算结果是向量．(　　)(2)由a·b＝0，可得a＝0或b＝0.(　　)(3)由a·b＝a·c及a≠0不能推出b＝c.(　　)(4)在四边形ABC

33、D中，＝且·＝0，则四边形ABCD为矩形.(　　)[答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)×2．(教材改编)已知

34、a

35、＝5，

36、b

37、＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________．－2　[由数量积的定义知，b在a方向上的投影为

38、b

39、cosθ＝4×cos120°＝－2.]3．(2016·全国卷Ⅲ改编)已知向量＝，＝，则∠ABC＝________.30°　[因为＝，＝，所以·＝＋＝.又因为·＝

40、

41、

42、

43、cos∠ABC＝1×1×cos∠ABC，所以cos∠ABC＝.又0°≤∠ABC≤180°，所以∠ABC＝30°.]4．向量a＝(1，－1)

44、，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝________.1　[法一：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴a2＝2，a·b＝－3，从而(2a＋b)·a＝2a2＋a·b＝4－3＝1.法二：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴2a＋b＝(2，－2)＋(－1,2)＝(1,0)，从而(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1.]5．(2016·全国卷Ⅰ)设向量a＝(x，x＋1)，b＝(1,2)，且a⊥b，则x＝________.－　[∵a⊥b，∴a·b＝0，即x＋2(x＋1)＝0，∴x＝－.]平面向量数量积的运算　(1)(2014·江苏高考)如图311，在平行四边

45、形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·的值是________．(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________；·的最大值为________．图311(1)22　(2)1　1　[(1)由＝3，得＝＝，＝＋＝＋，＝－＝＋－＝－.因为·＝2，所以·＝2，即2－·－AB2＝2.又因为＝25，＝64，所以·＝22.(2)法一：以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，设E(t,0)，t∈[0,1]，则＝(t，－1)，＝(0，－1)，所以·＝(t，－1)

46、·(0，－1)＝1.因为＝(1,0)，所以·＝(t，－1)·(1,0)＝t≤1，故·的最大值为1.法二：由图知，无论E点在哪个位置，在方向上的投影都是CB＝1，所以·＝

47、

48、·1＝1，当E运动到B点时，在方向上的投影最大，即为DC＝1，所以(·)max＝

49、

50、·1＝1.][规律方法]　1.求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．2．(1)要有“基底”意识，关键用基向量表示题目中所求相关向量．(2)注意向量夹角的大小，以及夹角θ＝0°，90°，180°三种特殊情形．[变式训练1]　(2017·启东中学高三第一次月考)如图312，在直

51、角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，AB＝3，AD＝，E为BC中点，若·＝3，则·＝________.【导学号：】图312－3　[以A点为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，设CD＝x，则＝(3,0)，＝(x，)，由·＝3解得x＝1.所以＝，＝(－2，)，所以·＝－3.]平面向量数量积的性质角度1　平面向量的模　(1)已知不共线的两个向量a，b满足

52、a－b

53、＝2且a⊥(a－2b)，则

54、b

55、＝________.(2)已知向量a，b，c满足

56、a

57、＝，

58、b

59、＝a·b＝3，若(c－2a)·(2b－3c)＝0，则

60、b－c

61、的最大值是_