2013届高三数学二轮复习热点 专题二 高考中解答题的审题方法探究6 导数及应用 理.doc

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1、"2013届高三数学二轮复习热点专题二高考中解答题的审题方法探究6导数及应用理"主要题型：(1)利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题；(2)利用导数研究不等式恒成立与证明等问题；(3)以函数为载体的建模问题．【例9】►(2011·江西)设f(x)＝－x3＋x2＋2ax.(1)若f(x)在上存在单调递增区间，求a的取值范围；(2)当0＜a＜2时，f(x)在[1,4]上的最小值为－，求f(x)在该区间上的最大值．[审题路线图]函数f(x)的导数是二次函数，对称轴为x＝，要使f(x)在上存在单调递增区间，必需满足f′＞

2、0；令f′(x)＝0得x1，x2，确定x1，x2所在的单调区间，根据单调性求f(x)的最值．[规范解答](1)由f′(x)＝－x2＋x＋2a＝－2＋＋2a，(2分)当x∈时，f′(x)的最大值为f′＝＋2a.令＋2a＞0，得a＞－.(5分)所以，当a＞－时，f(x)在上存在单调递增区间．(6分)即f(x)在上存在单调递增区间时，a的取值范围为.(2)令f′(x)＝0，得两根x1＝，x2＝.所以f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增．(8分)当0＜a＜2时，有x1＜1＜x2＜4，

3、所以f(x)在[1,4]上的最大值为f(x2)，4又f(4)－f(1)＝－＋6a＜0，即f(4)＜f(1)．(10分)所以f(x)在[1,4]上的最小值为f(4)＝8a－＝－.得a＝1，x2＝2，从而f(x)在[1,4]上的最大值为f(2)＝.(12分)抢分秘诀,用导数研究函数单调性、极值与最值是历年必考内容，尤其是含参数函数的单调性问题成为高考命题的热点，近几年新课标高考卷中发现：若该内容的题目放在试卷压轴题的位置上，试题难度较大；若放在试卷前几题的位置上，难度不大.【例10】►(2012·湖南)已知函数f(x)＝

4、ex－ax，其中a＞0.(1)若对一切x∈R，f(x)≥1恒成立，求a的取值集合；(2)在函数f(x)的图象上取定两点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))(x1＜x2)，记直线AB的斜率为k，证明：存在x0∈(x1，x2)，使f′(x0)＝k成立．[审题路线图](1)将f(x)≥1恒成立转化为f(x)的最小值f(x)min≥1.⇓利用导数f(x)的最小值的表达式．⇓即f(x)min＝f(lna)＝a－alna.⇓构造g(t)＝t－tlnt(t＞0)．⇓再利用导数判断g(t)的单调性．⇓可得当t＝1时，g(t

5、)max＝g(1)＝1，即可得a值．(2)首先利用斜率公式表示斜率k，⇓构造函数φ(x)＝f′(x)－k.⇓利用导数判断φ(x)在(x1，x2)端点的函数值φ(x1)、φ(x2)一正一负．根据零点判定定理知存在x0∈(x1，x2)，使φ(x0)＝0，即f′(x0)＝k成立．[规范解答](1)f′(x)＝ex－a，令f′(x)＝0得x＝lna.当x＜lna时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x＞lna时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，故当x＝lna时，f(x)取最小值f(lna)＝a－alna.于是对一切x∈R

6、，f(x)≥1恒成立，当且仅当a－alna≥1.①令g(t)＝t－tlnt，则g′(t)＝－lnt.当0＜t＜1时，g′(t)＞0，g(t)单调递增；当t＞1时，g′(t)＜0，g(t)单调递减．故当t＝1时，g(t)取最大值g(1)＝1.因此，当且仅当a＝1时，①式成立．综上所述，a的取值集合为{1}．(5分)(2)由题意知，k＝＝－a，4令φ(x)＝f′(x)－k＝ex－，则φ(x1)＝－[ex2－x1－(x2－x1)－1]，φ(x2)＝[ex1－x2－(x1－x2)－1]．令F(t)＝et－t－1，则F′(t)

7、＝et－1.当t＜0时，F′(t)＜0，F(t)单调递减；当t＞0时，F′(t)＞0，F(t)单调递增．(9分)故当t≠0时，F(t)＞F(0)＝0，即et－t－1＞0.从而ex2－x1－(x2－x1)－1＞0，ex1－x2－(x1－x2)－1＞0.又＞0，＞0，所以φ(x1)＜0，φ(x2)＞0.因为函数y＝φ(x)在区间[x1，x2]上的图象是连续不断的一条曲线，所以存在x0∈(x1，x2)，使φ(x0)＝0，即f′(x0)＝k成立．(12分)抢分秘诀1．过程书写要干净利落，条理分明，突出解法的逻辑关系．2．要用

8、数学语言，尤其借助于符号语言来进行说明可省去大篇的文字．3．在说明函数的单调性与极值时，要习惯于用表格来说明，表格中容纳了大量的无需再表述的信息，使问题的解决清晰明了，并且与占有一定的分数，倘若用其他方式说明就不到位．4．本题为试卷的压轴题，对不少考生来说，难度也较大，可能会放弃，但是还要把能得到的分拿下来，比如求f′(x)以及函数定义域等思维