2010高三数学高考《三角函数》专题学案：两角和与差的三角函数.doc

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1、第3课时两角和与差的三角函数基础过关1．两角和的余弦公式的推导方法：2．基本公式sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβcos(α±β)＝;tan(α±β)＝.3．公式的变式tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)1－tanαtanβ＝4．常见的角的变换：2＝(α＋β)＋(α－β)；α＝＋α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β＝(α－)－(－β)；＝典型例题例1．求［2sin50°+sin10°(1+tan10°)］·的值.解：原式======用心爱心专心变式训练1：(1)已知∈(,)，sin=,则tan()等于（）A.B.7C.－D.－7(2)sin1

2、63°sin223°+sin253°sin313°等于（）A.－B.C.－D.解：(1)A(2)B例2.已知α(，)，β(0，),(α－)＝，sin(＋β)＝，求sin(α＋β)的值．解：∵α－＋＋β＝α＋β＋α∈()β∈(0,)∴α－∈(0,)β＋∈(,π)∴sin(α－)＝cos()＝－∴sin(α＋β)＝－cos[＋(α＋β)]＝－cos[(α－)＋()]＝变式训练2：设cos（－）=－，sin（－β）=，且＜＜π，0＜β＜，求cos（+β）.解：∵＜＜π，0＜β＜，∴＜α－＜π，－＜－β＜.故由cos（－）=－，得sin（α－）=.由sin（－β）=，得cos（－β）=.∴

3、cos=cos［（－）－（－β）］==∴cos（+β）=2cos2－1=-1=－.例3.若sinA=,sinB=,且A,B均为钝角,求A+B的值.解∵A、B均为钝角且sinA=,sinB=，用心爱心专心∴cosA=-=-=-，cosB=-=-=-，∴cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB=×-×=①又∵＜A＜,＜B＜,∴＜A+B＜2②由①②知，A+B=.变式训练3：在△ABC中，角A、B、C满足4sin2-cos2B=,求角B的度数.解在△ABC中，A+B+C=180°,由4sin2-cos2B=,得4·-2cos2B+1=,所以4cos2B-4cosB+1=0.于是

4、cosB=,B=60°.例4．化简sin2·sin2+cos2cos2-cos2·cos2.解方法一（复角→单角，从“角”入手）原式=sin2·sin2+cos2·cos2-·(2cos2-1)·(2cos2-1)=sin2·sin2+cos2·cos2-(4cos2·cos2-2cos2-2cos2+1)=sin2·sin2-cos2·cos2+cos2+cos2-=sin2·sin2+cos2·sin2+cos2-=sin2+cos2-=1-=.方法二（从“名”入手，异名化同名）原式=sin2·sin2+(1-sin2)·cos2-cos2·cos2=cos2-sin2(cos

5、2-sin2)-cos2·cos2=cos2-sin2·cos2-cos2·cos2用心爱心专心=cos2-cos2·=-cos2·=-cos2=.方法三（从“幂”入手，利用降幂公式先降次）原式=·+·-cos2·cos2=(1+cos2·cos2-cos2-cos2)+(1+cos2·cos2+cos2+cos2)-·cos2·cos2=.方法四（从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方）原式=(sin·sin-cos·cos)2+2sin·sin·cos·cos-cos2·cos2=cos2(+)+sin2·sin2-cos2·cos2=cos2(+)-·cos(2+2)=co

6、s2(+)-·［2cos2(+)-1］=.变式训练4：化简：（1）sin+cos;(2）.解（1）原式=2=2=2cos=2cos(x-).（2）原式===1.小结归纳1用心爱心专心．三角函数式的化简、求值、证明等是三角变形常见的题型，三角函数式变形的过程就是分析矛盾、发现差异，进而消除差异的过程。在这一过程中须仔细观察到式子中各项的角、函数名称及运算式子的差异，找出特征，从中找到解题的突破口。对于角与角之间的关系，要充分应用角的恒等变换，以整体角来处理和解决有关问题，这样可以避免一些较复杂的计算，如：2α＋β=α+(α＋β)等．2．在应用过程中要能灵活运用公式，并注意总结公式的应

7、用经验。对一些公式不仅会正用，还要会逆用、变形用，如正切的和角公式的变形用，正、余弦的和、差角公式的逆用。另外还要能对形如sinx±cosx、sinx±cosx的三角函数式要创造条件使用公式．用心爱心专心