质心运动定理（理论力学课件）解析.ppt

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1、§12.3质心运动定理由式(12.10)所定义的质心位置反映出质点系质量分布的一种特征质心的概念及其运动在质点系（特别是刚体）动力学中具有重要地位。（12.10）2.质心的力学意义① 若质点系中各质点的质量相等，则：1/n与i无关，为公因子。式中:ri系数1/n表示第i个质点的质量在质点系质量中所占的比例，质心的矢径rc即为各质点的平均矢径。（12.11）②若质点系中各质点的质量不相等。则有：ri的系数表示第i个质点的质量在质点系的质量所占的比例，质心的矢径rc为即为各质点按其质量在质点系质量中所占的比例的平均位置。③质心的作用由讨论可见，质心的位置与质点系中的质量分布状况有关，它在一定程

2、度上反映了质点系的质量分布状况，所以质心的概念是动力学的重要概念之一。（12.12）④质心的坐标计算质心位置时，常用上式在直角坐标系的投影形式，即式中mi点为第i个质点的质量，xi、yi、zi，第i个质点的位置坐标，m为质点系的质量。质心是质点系中特定的一个点，质点系运动，质心也在运动。可见，如果把质点系的质量都集中于质心做为一个质点，那么此质点的动量就等于质点系的动量，可见质心运动具有特殊意义。可见物体在重力场中运动时，重心与质心相重合。但应当注意，质心与重心是两个不同的概念。⑤质心与重心的比较：若将上列各式等号右端的分子与分母同乘以重力加速度g，就得到质点系的重心坐标公式。重心仅在质点

3、系受到重力作用（即在地球表面附近）时才存在，而质心则与质点系是否受到重力作用无关，它随质点系的存在而存在。因此，质心概念的适用范围远较重心广泛。（12-13）或2、质心速度质心C的运动速度可根据式（12.10）导出：式（12.15）为计算质点系动量的简便方法。由上式可知，不论质点如何运动，在计算质点系的动量时均可不考虑其中每一质点的速度，而只需知道质点系的质量和质心的速度就足够了。（12.14）（12.15）设其角速度为w，质心C至转轴的距离为e，则由式（12.15）可知，此刚体动量的大小为例如绕定轴转动的刚体，显然，当刚体质心位于转轴上时，则不论转动角速度多大，其动量恒等于零。3、质心加

4、速度将式（12.14）对时间求导，得：二、质心运动定理上式表明，质点系的质量与质心加速度的乘积等于作用于质点系外力的矢量和。同时指出：内力不能改变质心的运动。形式上，质心运动定理与质点的动力学基本方程完全相似，因此质心运动定理也可叙述如下：（12.17）质点系质心的运动，犹如一个质点的运动，此质点的质量等于整个质点系的质量，且作用于此质点上的力等于作用于整个质点系上的外力的矢量和。质心运动定理在坐标轴上投影：——质点系质量与质心加速度在某一轴上的投影的乘积等于质点系所受外力的主矢量在同一轴上的投影，该式称为投影形式的质心运动定理。实际应用时，可采用投影形式。（12.18）（12.17）三、

5、质心运动守恒如果作用于质点系的所有外力在某一轴上投影的代数和恒等于零。则质心沿该轴的坐标保持不变。以上结论，称为质心运动守恒定律。则质心作匀速直线运动；②若开始静止，则质心位置始终保持不变。③注意：只有外力才影响质心的运动，内力不影响质心运动，且没有外力时，质心运动守恒，原为静止的质点系保持静止。如汽车在光滑路面上发动，如果路面没有摩擦力，则轮子空转不动，即轮心不向前运动，必须要有外力才能使其运动。有很多实例都可用来说明质心的运动完全取决于作用在质点系上的外力而与内力无关。例如，人在完全没有摩擦的光滑路面上行走是不可能的；汽车开动时，发动机汽缸内的燃气压力对汽车整体来说是内力，不能使车子前

6、进，只是当燃气推动活塞，通过传动机构带动主动轮转动，地面对主动轮作用了向前的摩擦力，而且这个摩擦力大于总的阻力时，汽车才能前进。例3设有一电动机用螺旋栓固定在水平地面上，如图，电动机外壳连同定子的质量为m1，它们的质心为c1，在转子的轴线上，转子的质量为m2。由于制造不够精确，因而其质心与转子轴线相距为e，试求当电动机以匀角速度ω转动时，螺旋栓所受的水平剪力和地面的铅垂反力。解：（1）研究整个电动机看作一个整体，受力分析如图：作用于质心上的外力有：重力m1g、m2g；螺栓的约束反力Rx、Ry。（2）建立静坐标如图：电动机质心C的方程为：式中：x1=y1=0，是外壳与定子的质心c1的坐标；x

7、2、y2是转子c2的坐标。设初瞬时，c2位于x轴上，经过时间t后，转角φ＝ωt，于是有：（1）（2）(3)代入质心坐标公式得质心c的运动方程：（1）（2）（3）将质心c的运动方程等式两端微分得：（3）（4）(4)质心运动微分方程：从而可得到：Rx——是螺栓给电动机的水平动反力，它与电动机的角速度有关，而电动机给螺栓的剪力则与Rx等值反向。Ry—电动机在铅垂方向上所受的全反力，当Ry>0时，其方向向上，它来自地面；当Ry<