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1、一、高阶偏导数二、中值定理和泰勒公式三、极值问题就本节自身而言，引入高阶偏导数是导出泰劳公式的需要；而泰劳公式除了用于近似计算外,又为建立极值判别准则作好了准备.§4泰勒公式与极值问题数学分析第十七章多元函数微分学*点击以上标题可直接前往对应内容如果它们关于x与y的偏导数也导数有如下四种形式:存在,§4泰勒公式与极值问题高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题高阶偏导数二元函数的二阶偏后退前进目录退出具有二阶偏导数．说明类似地可以定义更高阶的偏导数,例如的三阶偏导数共有八种情形:§4泰勒公式与极值问题高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题§4泰勒公式与极值问题高阶偏导数中值定理和泰勒公式
2、极值问题因此有§4泰勒公式与极值问题高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题解由于例1数为例2§4泰勒公式与极值问题高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题注意在上面两个例子中都有数相等.§4泰勒公式与极值问题高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题但是这个结论并不对任何函数都成立，例如其一阶偏导数为§4泰勒公式与极值问题高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题由此看到,这两个混合偏导数与求导顺序有关.在什么条件下混合偏导数与求导顺序无关呢?式.§4泰勒公式与极值问题高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题为此那么因此有§4泰勒公式与极值问题高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题由于类似地有这两个累次极
3、限相等.下述定理给出了使(1)与(2)相等的一个充分条件．§4泰勒公式与极值问题高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题定理17.7证令于是有(4)(3)§4泰勒公式与极值问题高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题由(4)则有(5)§4泰勒公式与极值问题高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题则有用前面相同的方法,又可得到(6)§4泰勒公式与极值问题高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题§4泰勒公式与极值问题高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题在且相等，这就得到所要证明的(3)式.合偏导数都与求导顺序无关．注2这个定理对n元函数的混合偏导数也成立.例由定理假设都在点连故当时,(7)式的两边的极
4、限存如三元函数的如下六个三阶混合偏导数续,注1若二元函数在某一点存在直到n阶的连续混合偏导数，则在这一点的所有阶混若在某一点都连续，则它们在这一点都相等．今后在牵涉求导顺序问题时,除特别指出外,一般都假设相应阶数的混合偏导数连续．复合函数的高阶偏导数设数同样存在二阶连续偏导数.§4泰勒公式与极值问题高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题具体计算如下:§4泰勒公式与极值问题高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题同理可得§4泰勒公式与极值问题高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题§4泰勒公式与极值问题高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题例3改写成如下形式:由复合函数求导公式，有自变量的复合函
5、数．§4泰勒公式与极值问题高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题所以§4泰勒公式与极值问题高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题§4泰勒公式与极值问题高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题二元函数的中值公式和泰勒公式,与一元函数的拉也有相同的公式，只是形式上更复杂一些．先介绍凸区域.图17-6凸非凸D,则称D为凸区域(图17-6).§4泰勒公式与极值问题高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题中值定理和泰勒公式格朗日公式和泰勒公式相仿,对于元函数若区域D上任意两点的连线都含于定理17.8（中值定理）点都可微,设在凸区域上连续,在D的所有内§4泰勒公式与极值问题高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值
6、问题使得则对D内任意两点的一元连续函数,且在(0,1)内可微.中值定理，，使得其中(10)(10)两式即得所要证明的(8)式．§4泰勒公式与极值问题高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题根据一元函数由于D为凸区域,因此根据(9)、注若D为严格凸区域，都有立(为什么?)．公式(8)也称为二元函数(在凸域上)的中值公式.§4泰勒公式与极值问题高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题即则对D上连续、intD内可微的函数f,只要(8)式成立.倘若就不能保证(8)式成也存在使(8)式成立．推论它与定理17.3的中值公式(12)请读者作为练习自行证明此推论．§4泰勒公式与极值问题高阶偏导数中值定理和
7、泰勒公式极值问题若函数f在区域D上存在偏导数，且则f在区域D上为常量函数．分析将上式改写成例4对应用微分中值定理，证明存在某个之间应用微分中值定理．证首先,当,有§4泰勒公式与极值问题高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题左边恰好是故应在两点§4泰勒公式与极值问题高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题连续,由中值定理,定理17.9（泰勒定理）阶的连续偏导数,§4泰勒公式与极值问题高阶偏导数中值定理和泰勒公式则对内任一点极值问题若在点内有直到(11)式称为的n阶泰勒公式,§
