电磁场习题答案.pdf

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1、电磁场理论与微波技术基础（上册）习题答案（部分）第1章矢量分析KKKKGKKGKKKGG1-1已知A=a+2a−3a，B=−4a+a，C=5a−2a，求：①a；②A−B；xyzyzxzAKGKGKGGKGGKGG③A•B；④θ；⑤A×C；⑥A•（B×C）和（）ABCו；⑦（A×B）×CABKGG和A×（B×C）。KK1KKGGKG答案：①aa=+(23a−a)；②AB−=53；③AB•=−11；Axyz14KGKKKD④θ=135.48；⑤AC×=−+(4a13a+10)a；⑥ABxyzKKGGGGKGGKKKABC•×（）

2、=（）ABC•×=−42；⑦（）ABCa××=−2405a+a和xyzKGGKKKABC××（）=55a−−44aa11。xyzKKKKKKKKKK1-2已知Aaaa=+−2，B=+aaba，若B⊥A，且B的模为1，求ab,。xyzxy25⎫25⎫a=−⎪a=⎪5⎪5⎪答案：⎬或⎬5⎪5⎪b=b=−5⎪⎭5⎪⎭KGKG2GG2221-3若矢量A和矢量B是任意常矢量，证明：A×B=AB−(A•B)。1-4求圆柱坐标系中从z轴上的z=z指向点处pr（，，）ϕ0的单位矢量。0KKKrarz−za0答案：a=。R22rz+02221-

3、5标量函数u=3xyz在点p,1,1(−)1处沿哪个方向的方向导数最大？并求出该方向上的方向导数的值。KK3KK答案：aa=+()a−a；∇=u63。mxyzp321-6已知空间中有一与时间无关的电位场V=3x+2xyz−z−1，求：①点p（0，1，2）处垂直于等位面的单位矢量；②点p（0，1，2）处电位变化的最大速率。1KK1K∂V答案：aa=−(74);a=∇u=65。mxz65∂lmaxKKKK2221-7求标量函数φ=++23xyyzxz在点(1,1,1)−处沿矢量ly=++zaxzaxya方xyz向的方向导数。∂φ答

4、案：=−23。∂lp1-8参照例图1.1，设有标量f(R)，求证：以p′(x′,y′,z′)为动点时的梯度∇′f(R)间与以p(x,y,z)为动点的梯度∇f(R)间满足关系：∇′f(R)=−∇f(R)。其中GGR=r−r′。−z1-9已知一标量函数φ=sin（πx2）sin（πy3）e，求：①点p（1，2，3）处φ增加速率最快的方向及大小；②点p（1，2，3）处向坐标原点方向φ增加速率（方向导数）的大小。−3KK-1Ke2答案：①aa=+(3ππ3a),∇u=+27；mzyπ2+276∂V14−33314−②=+πee。∂l4

5、228(1,2,3)K1-10根据散度定义式（1.31），证明直角坐标系下矢量A的散度表达式（1.32）。GKKKGGGG1-11已知R=ax+ay+az，A为一常量，R=R，求：∇•R；∇×R；∇×(RR)；xyzG∇•（AR）。KKKK答案：∇=∇?;R×=∇RR0;()×RA=∇0;?)R=3A。GGGGGG1-12证明：∇•(A×B)=B•(∇×A)−A•(∇×B)。1-13证明旋度定理（1.47）。GG2G2GG1-14在圆球坐标系中，已知A=()sinθRa+Rsinθa+Rsinθcosϕa，求∇•A。RθϕKs

6、inθ答案：∇•A2=+Rcosθ−Rsinϕ。2RGK2K2K222GG1-15已知矢量A=ax+a（xy）+a（24xyz），求：①∇•A；②∇•A对中心xyzG原点的一个单位立方体的体积分；③A对此立方体表面的面积分并验证散度定理。2GGGK22答案：①∇•=Axx224+yx+8yz；②∫V(?∇AdV=0；③v∫SAd•=S0。GG1-16已知圆柱坐标系中坐标原点至空间某一点的位置矢量为R，求R的微分表达式。KKKK答案：dR=++adrardϕadz。rzϕGK2K2G2221-17已知矢量A=ax+a（xy），①

7、求A沿圆周x+y=a的线积分；②应用斯xy托克斯定理求解此线积分。KKπ4KKπ4答案：①v∫lAdl•=a；②v∫l()∇×AdS=a。4412KK1-18试在直角坐标系下证明：−∇(1R)=(δrr−′)。4πGGG231-19若矢量A=a（cosϕR），1≤R≤2，求∇•AVd。R∫vG答案：①∫(?∇AdV=−π。V2j−−kR2jkR1-20试证∇=（）e(R−keR)，式中k为常数。GGG1-21已知圆柱坐标系中矢量为A=a(1r)+a(2r)，求该矢量在直角坐标系中的表达rϕ式。GKx−−22yyKx答案：Aa

8、=+a。xy2222x++yxyGGGGG1-22已知A=aa+ba+ca，写出圆柱坐标系和圆球坐标系下A的表达式。xyzGKKK答案：Aa=++−+(cosϕϕbsin)ab(cosϕϕasin)aca；rzϕGKAa=++(sincosθϕbsinsinθϕccos)θa