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《【创新设计】（浙江专用）2014届高考数学总复习 第8篇 第8讲 立体几何中的向量方法(Ⅱ) 求空间角限时训练 理.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第8讲 立体几何中的向量方法(Ⅱ)——求空间角分层A级 基础达标演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为( )．A．30°B．60°C．120°D．150°解析 设l与α所成的角为θ，则sinθ＝
2、cos〈m，n〉
3、＝，∴θ＝30°.答案 A2．正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱BB1中点，G是DD1中点，F是BC上一点且FB＝BC，则GB与EF所成的角为( )．A．30°B．120°C．60°D．90°解析 如图建立直角坐标系Dxyz
4、，设DA＝1，由已知条件，得G，B，E，F，＝，＝cos〈，〉＝＝0，则⊥.答案 D3．长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE10所成角的余弦值为( )．A.B.C.D.解析 建立坐标系如图，则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0，2,2)．＝(－1,0,2)，＝(－1,2,1)，cos〈，〉＝＝.所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为.答案 B4．(2013·杭州月考)在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin〈，〉的值为( )．A.B.C
5、.D.解析 设正方体的棱长为2，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系(如图)，可知＝(2，－2,1)，＝(2,2，－1)，cos〈，〉＝－，sin〈，〉＝，10答案 B二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2013·连云港模拟)若平面α的一个法向量为n＝(4,1,1)，直线l的一个方向向量为a＝(－2，－3,3)，则l与α所成角的正弦值为________．解析 cos〈n，a〉＝＝＝－.又l与α所成角记为θ，即sinθ＝
6、cos〈n，a〉
7、＝.答案 .6．如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠A
8、BC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是________．解析 建立如图所示的空间直角坐标系．设AB＝BC＝AA1＝2，则C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(0,0,1)，则＝(0，－1,1)，＝(2,0,2)，∴·＝2，∴cos〈，〉＝＝，∴EF和BC1所成角为60°.答案 60°三、解答题(共25分)7．(12分)如图，四面体ABCD中，AB、BC、BD两两垂直，AB＝BC＝BD＝4，E、F分别为棱BC、AD的中点．(1)求异面直线AB与EF所成角的余弦值；(2)求E到平面ACD的距离；(3)求EF与平面ACD所成角的正弦值．
9、10解 如图，分别以直线BC、BD、BA为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则各相关点的坐标为A(0,0,4)、C(4,0，0)、D(0,4，0)，E(2,0,0)、F(0，2,2)．(1)∵＝(0,0，－4)，＝(－2,2,2)，∴
10、cos〈，〉
11、＝＝，∴异面直线AB与EF所成角的余弦值为.(2)设平面ACD的一个法向量为n＝(x，y,1)，则∵＝(4,0，－4)，＝(－4,4,0)，∴∴x＝y＝1，∴n＝(1,1,1)．∵F∈平面ACD，＝(－2,2,2)，∴E到平面ACD的距离为d＝＝＝.(3)EF与平面ACD所成角的正弦值为
12、cos〈n，〉
13、＝＝.8．(13分)如图，
14、在底面为直角梯形的四棱锥PABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABCD，PA＝3，AD＝2，AB＝2，BC＝6.10(1)求证：BD⊥平面PAC；(2)求二面角PBDA的大小．(1)证明 如图，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2，0,0)，C(2，6,0)，D(0,2,0)，P(0,0,3)，∴＝(0,0,3)，＝(2，6,0)，＝(－2，2,0)．∴·＝0，·＝0.∴BD⊥AP，BD⊥AC.又∵PA∩AC＝A，∴BD⊥面PAC.(2)解 设平面ABD的法向量为m＝(0,0,1)，设平面PBD的法向量为n＝(x，y，z)，则n·＝0，n·＝0.∵
15、＝(－2，0,3)，∴解得令x＝，则n＝(，3,2)，∴cos〈m，n〉＝＝.∴二面角PBDA的大小为60°.分层B级 创新能力提升1．如图，在四面体ABCD中，AB＝1，AD＝2，BC＝3，CD＝2.∠ABC＝∠DCB＝，则二面角ABCD的大小为( )．A. B. C. D.解析 二面角ABCD的大小等于AB与CD所成角的大小.＝＋＋.而2＝210＋2＋2－2
16、
17、·
18、
19、·cos〈，〉，即12＝1＋4＋9－2×2cos〈，〉，∴cos〈，〉＝，∴AB与CD所成角为，即二面角ABCD的大小为.故选B.答
