2020年高三数学大串讲第09讲（用零点、极值解决不等式问题）（原卷版）.doc

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1、第09讲（用零点、极值解决不等式问题）【目标导航】在导数的综合应用中，经常涉及到与函数零点与极值点有关的一些问题．处理这类问题，我们需要通过零点与极值点的概念，通过构造方程或方程组，简化函数或方程的表达式，从而解决与零点，极值点有关的等式与不等式问题．考查函数与方程思想，转化与化归思想，同时考查抽象概括、综合分析问题和解决问题的能力.【例题导读】例1、已知函数f(x)＝，设函数f(x)在(0,1)上的极值点为x0，求证f(x0)<－2.例2、已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1(a＞0，b∈R)有极值

2、，且导函数f′(x)的极值点是f(x)的零点．(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求b关于a的函数关系式，并写出定义域；(2)若f(x)，f′(x)这两个函数的所有极值之和不小于－，求a的取值范围．例3、已知函数f(x)＝－x＋alnx.若f(x)存在两个极值点x1，x2，证明：＜a－2.例4、设函数f(x)＝(x－1)3－ax－b，x∈R，其中a，b∈R若f(x)存在极值点x0，且f(x1)＝f(x0)，其中x1≠x0，求证：x1＋2x0＝3.例5、已知函数f(x)＝lnx－.(1)讨论f(

3、x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；(2)设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y＝lnx在点A(x0，lnx0)处的切线也是曲线y＝ex的切线．例6、已知函数f(x)＝2lnx＋x2－ax，a∈R.(1)当a＝3时，求函数f(x)的极值；(2)设函数f(x)在x＝x0处的切线方程为y＝g(x)，若函数y＝f(x)－g(x)是(0，＋∞)上的单调增函数，求x0的值；(3)是否存在一条直线与函数y＝f(x)的图象相切于两个不同的点？并说明理由．【反馈练习】1、已知函数f(x)＝x3＋x2＋ax＋b(

4、a，b为常数)，其图象是曲线C.函数f(x)的导函数为f′(x)，若存在唯一的实数x0，使得f(x0)＝x0与f′(x0)＝0同时成立，求实数b的取值范围．2、设a∈R，函数f(x)＝ex－ax2，e是自然对数的底数．若函数f(x)的极大值与极小值，记为f(x1)，f(x2)，求证：x1＋x2>2.3、已知函数f(x)＝ax2－ax－xlnx，且f(x)≥0.(1)求a；(2)证明：f(x)存在唯一的极大值点x0，且e－2＜f(x0)＜2－2.4、设函数f(x)＝lnx－a(x－1)ex，其中a∈R且0＜

5、a＜，(1)证明：f(x)恰有两个零点；(2)设x0为f(x)的极值点，x1为f(x)的零点，且x1＞x0，证明：3x0－x1＞2.