高观点下的中学几何研究.doc

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1、高观点下的中学几何研究姓名：赵志书学号：222009314011286开设中学几何研究这门课程，一方面是使将要走上中学数学教学岗位的毕业生具有一定的几何基础（承担中学数学教学、研究任务及继续学习现代数学知识，并提高自身数学修养），另一方面是使毕业生能利用在高师院校学到的高等几何知识，指导其中学几何的教学和研究工作，也即使他能“居高等几何之高”去临“中学几何之下”。大多大学毕业生，他们的体会是：在自己的教学过程中，大学所学习的高等数学知识几乎没有发挥作用；还有的甚至说：在中学任教多年，将在大学学过的高等数学知识几乎都“还给”了大学老师；只有少数人体会到，在中学教学中，虽然高等数学知识直接涉及

2、到的并不多，但其原理、思想、观点和方法却时常发挥着作用，那些从事中学数学教学研究和初等数学研究的（这只是极少的一部分人）中学教师认为，在他们的教学和科研方面，高等数学所发挥的作用是十分明显的。数学教育的核心，时呈现数学的教育形态，高效率的让学生理解数学的本质，开展中学几何研究，必须用高观点来考查中学几何内容，并适当的加以补充。用高等几何的理论和方法，去解决中学几何问题，为中学几何提供新的解题思路，从以下几个方面可以体现高观点下的中学几何研究，究竟意义何在?仿射变换提供的解题途径：①利用平行射影证明几何题，平行射影是最简单的仿射变换，利用条直线之间的平行射影，将图形中不共线的点和线段投射成共

3、线的点和线段，可以使一些命题得证明得到简化。②利用图形的特殊仿射现象证明几何题：特殊图形，包括有正三角形，圆，菱形，等腰梯形，经过仿射变换得到任意三角形，椭圆，平行四边形，梯形。反之，存在仿射变换将这些一般图形对应的变成特殊图形，因此证明一般图形时可以利用仿射变换将特殊图形的性质应用到证明或计算一般图形的某些问题。射影变换提供的解题途径：①利用透视变换保持交比进行计算和证明，交比时射影几何的基本不变量，利用透视变换保持交比不变，常常可以证明初等几何中涉及线段比例的题；②利用调和比证明线段的相等和角的相等4，常用两个命题，一个是若A,B,C的第四调和点是无穷远点，则线段AB被C点平分，另一个

4、是若调和线束中的第三第四两条直线相互垂直，则它们必是第一第二两条直线所成角的内外平分线。关于点线结合的命题的证明，具体有以下一些：①利用中心射影将一条直线投射到无穷远进行证明②利用完全四点形的调和性质证明③用配极变换证明④选择合适的仿射坐标系或射影坐标系，用解析法证明关于中学几何作图问题的解决途径，利用射影几何的方法处理中学几何的作图问题，有两个特点：一是工具简单，二是可以解决初等几何中很困难的一些问题①用完全四点形的调和性质作图②有关不可到达点和直线的作图，可用笛沙格定理巴布什定理，完全四点形的调和性质来完成③关于二次曲线的切线作图，可利用巴布什定理或极点极限理论来完成中学几何研究主要针

5、对平面解析几何和立体几何来开展，几何学研究的是空间图形。其次就是研究几何的方法，研究方法大的来说主要有综合几何的方法和代数的方法两类。综合几何的方法主要就是立体几何即欧式几何的研究范畴的公理体系，主要是关系的判定和证明。代数的方法就是解析几何的研究范围，主要是用代数的方法研究几何问题，用到了解析几何里的一些代数方法以及向量的方法。在立体几何初步里面，主要是任务是培养学生对空间图形的把握能力，所以新课标适当削弱了综合几何证明问题，而是提倡使用向量的方法，向量方法不但是简单，是一个通性通法，也是作用非常大的一个方法，而综合几何虽然配逻辑思维能力有一定的作用，但是在后面的发展是有限的，能够对这个

6、东西有一个比较整体的认识，就知道我们立体几何里面不要把证明放在非常高的地位，而把认识图形放在主要的问题的地位来看。在某种意义上没有解析几何就没有微积分，也就没有现代数学。感谢笛卡尔，发明了坐标系，从此几何图形有了全新的研究工具，从而解析几何成为了一个重要的数学分支。解析几何这个学科主要是研究圆锥曲线和圆锥曲面为研究对象的，当然包括用代数方法去处理圆锥曲线和圆锥曲面的学科。但是解析几何的思想是用代数的办法，依托于坐标系处理几何问题的一个东西，比如现在我们所谓代数几何，都是我们通常所说的解析几何思想去解决的一个问题。 4解析几何的基本思想，就是把几何问题，把一个曲线、曲面如何代数化，如何用一个

7、代数的方程来描述。然后我们转过头来处理代数方程、处理代数问题。得到代数的结果或者得到代数方程我们还要看这个结果、或者这个方程的几何含义。比如这个方程的系数在几何上什么表示、方程的意义。回过头来再来解决几何问题，就这样一个思想过程，从几何到代数再从代数回到几何这样一个完整的过程是解析几何思想最主要的步骤。虽然可以处理不同的几何对象，但是这个思想都是一样的。几何是一个很直观视觉的艺术，也是一个培养逻辑思维的载体。几何学在中学