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1、一条线段最值问题的研究初中阶段线段最值问题涉及广泛，有一条线段的最值问题，两条及多条线段和的最小值问题，还有两条线段差的最大值问题等，这里主要讨论一条线段最值问题。基本原理：一条线段由两个点组成，不是动点即为定点，可以按照单动点和双动点分类，也可以按照动点形成的轨迹去分类。初中阶段考察最多的轨迹是直线和圆（或其部分），经过排列组合可以得到多种情形（这里不穷举，只讨论常见部分）。由于压轴题中动点形成的轨迹难以确定，或者需要转化，所以也是造成部分优生答题困难的重要原因。基本情形1：一个定点和一个轨迹为定直线的动
2、点如图，给定定点A和直线l上的动点P，利用“垂线段最短”可知AP与l垂直时AP值最小。例1.如图1，在⊿ABC中，∠CAB=30°，∠CBA=90°，BC=1，D为直线AB上一动点，把点D绕点C顺时针旋转60°得点E，求BE的最小值．分析：D的运动轨迹是直线,所以经过旋转后E的运动轨迹也是直线,所以只需把直线AB绕点C顺时针旋转60°可得E的轨迹,从而转化成点到直线的距离.例2.如图2,在⊿ABC中，∠CAB=15°,AC=3,D为直线AB上一动点(不与A、B重合),⊿AED为等腰直角三角形且∠DAE=90
3、°,过E作EF⊥DE,F为垂线上任一动点,G为DF的中点,求线段CG的最小值.分析:连接EG、AG可得⊿ADG≌⊿AEG,从而可知∠CAG=60°,所以G在直线上运动,从而转化成点到直线的距离.例3.如图3,在直角⊿ABC中，CB=3,CA=4，M为斜边AB上一动点，过M作MD⊥AC于D，过M作ME⊥BC于点E，求线段DE的最小值为.分析:连接CM,则CM=DE,则只需求CM的最小值,从而双动点转化成单动点,并且又一次转化成点到直线的距离.例4.如图4，⊿ABC中,∠BAC=60°,∠ABC=45°,AB=
4、2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为 _________ ．分析：连接OE、OF，可得EF=OE，AD=2OE，而EF=AD，从而只需求出AD的最小值，并且又一次转化成点到直线的距离.基本情形2：一个定点和一个轨迹为定圆的动点如图，已知定点A(A也可在圆内)和圆B上一动点P，且AB=d，圆B半径为r，易知当A、B、P三点共线时的AP有最大值d+r和最小值.例5.如图5，在⊿ABC中，∠ACB=90°，AC=1，AB=2.将⊿ABC绕顶点
5、C顺时针旋转得到⊿A′B′C,取AC中点E，A′B′中点P,连接EP，则在旋转过程中线段EP的最大值是，最小值是.分析:连接CP可知CP=1,所以P的轨迹是定圆,所以此题即可转化成基本情形2.例6.如图6，在Rt⊿ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=12,点D在边AC上且AD=4，连结BD，,将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD中点，求线段CF长度的最大值和最小值.分析：因为BD=2CF，所以只需求BD的最值，而D的轨迹是定圆,所以此题即可转化成基本情形2.例7.如图7，E，F是正方形ABCD的边A
6、D上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是．分析：由全等可以知道∠DAG=∠DCG=∠ABE，∠GAB=∠GCB，从而可知∠AHB=90°，所以H的轨迹是圆（确切是半圆），所以此题即可转化成基本情形2.基本情形3：含有其它轨迹的动点这种类型的题目有些可以转化成基本情形1和基本情形2，如例3、例4和例6，有些可以构造三角形，利用三角形第三边大于两边之差小于两边之和，如图,A是定点，B、C是动点，则，当A、B、C三点共线时BC取到最值.例
7、8.如图8(1)，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为.分析：并不是所有的轨迹都可以求出来，就算求出来初中生也不一定认识，比方说本题可以作DP⊥OA，设AP=a，DP=b，由相似可知OA=2b，所以点D的坐标可以假设为（x，y）=（b，a+2b），根据得，，是一个椭圆，所以应该寻求新的方法.如图8(2)取AB的中点E,连接OE、DE、OD,构成三角形，
8、显然OD≤OE+DE,可得最大值OE+DE.例9.如图9,在⊿AOB中，AB=OB=2，在⊿COD中，CD=OC=3,连接AD、BC，点M、N、P分别为OA、OD、BC的中点.固定⊿AOB，将⊿COD绕点O旋转，直接写出PM的最大值.分析：连接BM可知∠BMC=90°,所以BC=2PM,所以只需求BC的最大值即可,BC、OB、OC构成三角形，显然BC≤OB+OC,可得最大值5.例10,如图10,在Rt⊿ABC中,
