圆锥曲线与向量的综合性问题.doc

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1、圆锥曲线与向量的综合性问题一、常见基本题型：在向量与圆锥曲线相结合的题目中，主要是利用向量的相等、平行、垂直去寻找坐标之间的数量关系，往往要和根与系数的关系结合运用。(1)问题的条件以向量的形式呈现，间接的考查向量几何性质、运算性质，例1、设，点在轴的负半轴上，点在轴上，且．当点在轴上运动时，求点的轨迹的方程；解：（解法一），故为的中点．设，由点在轴的负半轴上，则又，又，所以，点的轨迹的方程为（解法二），故为的中点．设，由点在轴的负半轴上，则-又由，故，可得由，则有，化简得：所以，点的轨迹的方程为例

2、2、已知椭圆的方程为，它的一个焦点与抛物线的焦点重合，离心率，过椭圆的右焦点作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆于、两点．（1）求椭圆的标准方程；（2）设点，且，求直线的方程；解：（Ⅰ）设椭圆的右焦点为，因为的焦点坐标为，所以因为，则，故椭圆方程为：（Ⅱ）由（I）得，设的方程为（）代入，得，设则，所以直线的方程为（2）所求问题以向量的形式呈现例3、已知椭圆E的长轴的一个端点是抛物线的焦点，离心率是（1）求椭圆E的方程；（2）过点C（—1，0），斜率为k的动直线与椭圆E相交于A、B两点，请问x轴上是否存在点

3、M，使为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。解：（1）根据条件可知椭圆的焦点在x轴，且故所求方程为即，（2）假设存在点M符合题意，设AB：代入得：则要使上式与无关，则有解得，存在点满足题意。例4、线段过y轴上一点，所在直线的斜率为，两端点、到y轴的距离之差为.(Ⅰ)求出以y轴为对称轴，过、、三点的抛物线方程；(Ⅱ)过该抛物线的焦点作动弦，过、两点分别作抛物线的切线，设其交点为，求点的轨迹方程，并求出的值.解：(Ⅰ)设所在直线方程为，抛物线方程为，且，，不妨设，即把代入得，故所求抛物线

4、方程为(Ⅱ)设，则过抛物线上、两点的切线方程分别是，两条切线的交点的坐标为设的直线方程为，代入得故的坐标为　点的轨迹为而故(3)问题的条件及待求的问题均已向量的形式呈现例5、在直角坐标系xOy中，长为的线段的两端点C、D分别在x轴、y轴上滑动，．记点P的轨迹为曲线E．（I）求曲线E的方程；（II）经过点（0，1）作直线l与曲线E相交于A、B两点，当点M在曲线E上时，求的值．解：（Ⅰ）设C(m，0)，D(0，n)，P(x，y)．由＝，得(x－m，y)＝(－x，n－y)，∴得由

5、

6、＝＋1，得m2＋n2＝

7、(＋1)2，∴(＋1)2x2＋y2＝(＋1)2，整理，得曲线E的方程为x2＋＝1．（Ⅱ）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由＝＋，知点M坐标为(x1＋x2，y1＋y2)．设直线l的方程为y＝kx＋1，代入曲线E方程，得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0，则x1＋x2＝－，x1x2＝－．y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝，由点M在曲线E上，知(x1＋x2)2＋＝1，即＋＝1，解得k2＝2．这时x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋1)(kx2＋1)＝(1＋k2)x1x2＋k(x2＋x2)＋1＝－，

8、(x＋y)(x＋y)＝(2－x)(2－x)＝4－2(x＋x)＋(x1x2)2＝4－2[(x1＋x2)2－2x1x2]＋(x1x2)2＝，cosá，ñ＝＝－．二、针对性练习1.已知圆M：及定点，点P是圆M上的动点，点Q在NP上，点G在MP上，且满足（1）求点G的轨迹C的方程；（2）过点K（2，0）作直线与曲线C交于A、B两点，O是坐标原点，设,是否存在这样的直线使四边形OASB的对角线相等？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.解：（1）由为PN的中点，且是PN的中垂线，∴＞∴点G的轨迹是以M、

9、N为焦点的椭圆，又∴（2）∵.四边形OASB为平行四边行，假设存在直线1，使四边形OASB为矩形若1的斜率不存在，则1的方程为由＞0.这与相矛盾，∴1的斜率存在.设直线1的方程，化简得：∴∴由∴∴存在直线1：或满足条件.二、针对性练习1.已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于,（）两点，且．（1）求该抛物线的方程；（2）为坐标原点，为抛物线上一点，若，求的值．解：（1）直线AB的方程是,与联立，消去，得，所以，由抛物线定义得：，所以p=4，抛物线方程为：（2）由p=4，化简得，从而,从而A(1,

10、),B(4,)设=，又因为，即8（4），即，解得2、在平面直角坐标系内已知两点、，若将动点的横坐标保持不变，纵坐标扩大到原来的倍后得到点，且满足.（Ⅰ）求动点所在曲线的方程；（Ⅱ）过点作斜率为的直线交曲线于、两点，且，又点关于原点的对称点为点，试问、、、四点是否共圆？若共圆，求出圆心坐标和半径；若不共圆，请说明理由.解（Ⅰ）设点的坐标为，则点的坐标为，依据题意，有动点所在曲线的方程是（Ⅱ）因直线过点，且斜率为，故有联立方程组，消去，得设、，可得，于是.又，得即而点与点