§2.1平面的等距变换.doc

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1、第二章平面图形的对称群§2.1平面的等距变换定义1.1设是一个平面，映射f：，则f是一个双射。若f是保持平面内任意两点间的距离不变，则f是平面的等距变换。记P，Q，。例1.2：（1）平面变换：设是一个平面，点O是内的一个定点，是一个以O为起点的定向量，平移是只平面内一个点到另一个点的映射，t：，满足，则平移变换是一个等距变换。（2）反射变换：设是一个平面，l是内的一条直线。平面关于l的反射变换是指平面到的一个映射W：。W把内的点P映射到关于直线l的对称点，则该变换是一个等距变换。（3）旋转变换：设是一个

2、平面，D是内的一个固定点，定义到自身的一个映射P:，P把内的任意一点P绕O点沿逆时针方向旋转角度后映射到，这个映射称为以O为中心转角度的旋转。（4）滑动反射变换：将沿直线l做一个平移，再关于l做一个反射，对的这种操作确定了内点到点之间的一个对应关系称为平面的滑动反射变换。（5）恒等变换命题1.3若f是一个平面等距变换，则中不同的P，Q，R共线f(P)，f(Q)，f(R)共线，从而若l是一条直线，则f（l）也是一条直线。证明：设P，Q，R三点共线，选取记号使得R在P，Q之间，则。假设f(P)，f(Q)，f

3、(R)不共线，则他们是三角形的顶点，则<+，这与f是等距变换相矛盾，反之可类似证明。若不是直线，则他有不共线的三点f(P)，f(Q)，f(R)，其中P，Q，R共线于l上矛盾。从而结论得证。例：1、4证明：在平面等距变换下，三角形的形状和大小都保持不变。证：设f是内一个等距变换，ABC是内任意一个三角形，则，，又则为一个三角形的三个顶点，且点积：命题1、5设f是平面的一个等距变换，则f保持点积不变等价于。证明：“充分性”，若对都有则“必要性”若则定义1、6设f：到平面等距变换，若在内，至少存在一个点o,使

4、得称f为有不动点的等距变换。例如：反射变换，旋转变换，恒等变换。记平面的所有等距变换构成集合为Isom()记平面固定原点有等距变换构成集合为O（2，）。则,又，且点积：，命题1.5设f是平面Z上的一个等距变换，则f保持点积不变证明：，则f(0)=0,定义1.6设f:z-Z平面等距变换若在Z中至少有一个点0使得f(0)=0,称f为不动点的等距变换，（例如：反射变换、旋转变换）。记平面Z的所有等距变换构成的等距变换集合为Isom(z)，记平面固定点的所以等距变换构成的集合为D（Z，z）。例2.4：求邻不等且

5、非矩形的平行四边形的对称群。CDAB解:其中是系统中心作的旋转变换下证不再向其它的对称变换：设是的一个对称变换。使得中心点保持不变（而）于是就能完全确定。重合，故把的顶点变成的顶点。,故只能是或又只能是，或，从而的每种可能，只有1种故组合只有2x1种.