直线的参数方程教案.doc

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1、直线的参数方程教学目标：1.了解直线参数方程的条件及参数的意义2.能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程及参数的意义3.通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。教学重点：联系数轴、向量等知识，写出直线的参数方程。教学难点：通过向量法，建立参数（数轴上的点坐标）与点在直角坐标系中的坐标之间的联系。教学方式：启发、探究、交流与讨论.教学过程：一、回忆旧知，做好铺垫在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何条件是什么？根据直线的几何条件，你认为用哪个几何条件来建立参数方程比较好？一个定点和倾斜角可惟一确定一条直线①根据直线的这个几何条件，你认为应当怎样选择参数？定点和斜率。定点和直线的方

2、向向量二、直线的参数方程的探究1．回顾数轴，引出向量数轴是怎样建立的？数轴上点的坐标的几何意义是什么？教师提问后，让学生思考并回答问题。教师引导学生明确：如果数轴原点为O，数1所对应的点为A，数轴上点M的坐标为，那么①为数轴的单位方向向量，方向与数轴的正方向一致，且；②当与方向一致时，；当与方向相反时，；当M与O重合时，；③。教师用几何画板软件演示上述过程。8【设计意图】回顾数轴概念，通过向量共线定理理解数轴上的数的几何意义，为选择参数做准备。2.类比分析，异曲同工问题：如果把平面直角坐标系中的一条直线作为数轴，那么直线上任意一点就有两种坐标。怎样选去单位长度和方向才有利于建立这两种坐标

3、之间的关系？教师提出问题后，引导学生思考并得出以下结论：选取直线上的定点为原点，与直线平行且方向向上(的倾斜角不为0时)或向右（的倾斜角为0时）的单位向量确定直线的正方向，同时在直线上进行度量的单位长度，这时直线就变成了数轴。于是，直线上的点就有了两种坐标（一维坐标和二维坐标）。在规定数轴的单位长度和方向时，与平面直角坐标系的单位长度和方向保持一致，有利于建立两种坐标之间的联系。【设计意图】使学生明确平面直角坐标系中的任意直线都可以在规定了原点、单位长度、正方向后成为数轴，为建立直线参数方程作准备。3.选好参数，柳暗花明问题：当点M在直线上运动时，点M满足怎样的几何条件？让学生充分思考后

4、，教师引导学生将直线变成数轴，直线上点M运动就等价于向量变化，但无论向量怎样变化，都有。因此点M在数轴上的坐标决定了点M的位置，从而可以选择作为参数来获取直线的参数方程。【设计意图】为选择参数来获取直线的参数方程做铺垫。8问题：如何确定直线的方向向量？教师启发学生思考确定直线的要素，明确直线的方向可以由直线的倾斜角来确定，因而直线的方向向量可以由倾斜角来确定。为实现用倾斜角表示方向向量，教师可启发学生将方向向量的起点平移到坐标系原点，再根据三角函数定义写出的终点的坐标，从而获得。当时，，所以直线的单位方向向量的方向总是向上。【设计意图】获取直线的方向向量。4.等价转化，深入探究问题：如果

5、点,M的坐标分别为，怎样用参数表示？教师启发学生回顾向量的坐标表示，待学生通过独立思考并写出参数方程后再全班交流。过程如下：因为，（），，所以存在实数，使得，即于是，即，因此，经过定点，倾斜角为的直线的参数方程为（为参数）8教师可以提出如下问题让学生加强认识：①直线的参数方程中哪些是变量？哪些是常量？②参数的取值范围是什么？③参数的几何意义是什么？总结如下：①，是常量，是变量；②；③由于，由，得到，因此表示直线上的动点M到定点的距离。当时，则的方向向上；当时，则的方向向下；当时，则点M与点重合。三、运用知识，培养能力例1.已知直线与抛物线交于A,B两点，求线段AB的长度和点到A,B两点的

6、距离之积。如果在学习直线的参数方程之前,你会怎样求解本题呢？方法一：解：由，得设，,由韦达定理得：由（*）解得所以8则方法二、参数方程求解解：因为直线过定点M，且的倾斜角为，所以它的参数方程是（为参数）即（为参数）把它代入抛物线的方程，得，解得，由参数的几何意义得：探究：直线（为参数）与曲线交于两点，对应的参数分别为（1）曲线的弦的长是多少？（2）线段的中点M对应的参数的值是多少？（3）你还能提出和解决哪些问题？，例2、经过点作直线，交椭圆于A,B两点。如果点M恰好为线段AB的中点，求直线的方程。8分析：引导学生以M作为直线上的定点写出直线的参数方程，然后与椭圆的方程联立，设A,B两点对

7、应的参数分别为，则由求出直线的斜率。教师板书，过程如下：解：设过点的直线的参数方程为（为参数）代入椭圆方程，整理得因为点M在椭圆内，这个方程必有两个实根，设A,B两点对应的参数分别为则因为点M为线段AB的中点，所以，即于是直线的斜率于是直线的方程是，即思考：例2的解法对一般圆锥曲线适用吗？把“中点”改为“三等分点”，直线的方程怎样求？四、自主发挥，深入理解已知过点，斜率为的直线和抛物线相交于A,B两点，设线段AB的中点为M，求点M的