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1、函数的奇偶性宝马奔驰东风雪铁龙丰田请你欣赏四川曹家大院一景曹家多子院大门二道门水镜台请你欣赏曹家大院某院晋祠鼓楼晋祠硕亭太谷民居门墩石狮子请你欣赏xyoxyo观察下列两个函数图象并思考以下问题：（1）这两个函数图象有什么共同特征吗？（2）相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的？x-3-2-10123x-3-2-10123我们得到,这两个函数图象都关于y轴对称.从函数值对应表可以看到，当自变量x取一对相反数时,相应的两个函数值相同.即点(x,f(x))在图象上,相应的点(-x,f(x))也在函数图象上。我们能否利用函数解析式来描述函数图象的特征呢？y=x2-xx当x
2、1=1,x2=-1时，f(-1)=f(1)当x1=2,x2=-2时，f(-2)=f(2)对任意x，f(-x)=f(x)偶函数定义：如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x）=f(x)。那么f(x)就叫偶函数。再观察下列函数的图象，它们又有什么相的特点规律呢？x-3-2-10123x-3-2-1123xy0我们得到,这两个函数图象都关于原点对称.从函数值对应表可以看到:当自变量x取一对相反数时,相应的两个函数值相反.即点(x,f(x))在图象上,相应的点(-x,-f(x))也在函数图象上。我们同样可以利用函数解析式来描述函数图象的这个特征。例如：对于函数f(x)=
3、x3有f(-1)=(-1)3=-1f(1)=1f(-2)=(-2)3=-8f(2)=8f(-x)=(-x)3=-x3f(-1)=-f(1)f(-2)=-f(2)f(-x)=-f(x)-xxyx-11-11-xx奇函数定义：如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x）=-f(x)。那么f(x)就叫奇函数。思考:偶函数与奇函数图象有什么特征呢?偶函数的图象关于Y轴对称.yxo函数y=x2的图像偶函数的图像特征奇函数的图像特征函数y=x3的图像xyO奇函数的图象关于原点对称.对于奇、偶函数定义的几点说明:(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的先决条件。（3）奇、偶函
4、数定义的逆命题也成立，即：若函数f(x)为奇函数,则f(-x)=－f(x)成立。若函数f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x)成立。（1）如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就是说函数f(x)具有奇偶性。例1.根据下列函数图象,判断函数奇偶性.yxyxyx-12yx-11偶奇非奇非偶奇例2.判断下列函数的奇偶性:解:(1)对于函数，其定义域为，因为对定义域内的每一个x,都有所以函数为奇函数。（1）（2）先确定定义域,再验证f(x)与f(-x)之间的关系.(3)(2)对于函数,其定义域为{x
5、x0},定义域内每个x,都有故f(x)为偶函数。(3)f(x)定义域
6、为R,定义域内每个x都有故f(x)为奇函数.（5）（4）定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。定义域不关于原点对称，所以f(x)为非奇非偶函数。解：（4）（5）,故函数f(x)为既是奇函数也是偶函数。奇函数偶函数既奇又偶函数非奇非偶函数根据奇偶性,函数可划分为四类:判断函数奇偶性步骤:(1)先确定函数定义域,并判断定义域是否关于原点对称;(2)确定f(x)与f(-x)的关系;(3)作出结论.若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,则f(x)是偶函数;若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数.思考1：函数f(x)=2x+1
7、是奇函数吗？是偶函数吗？xy012f(x)=2x+1-1分析：函数的定义域为R但是f(-x)=2(-x)+1=-2x+1∴f(-x)≠-f(x)且f(-x)≠f(x)∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数。（也称为非奇非偶函数）如右图所示：图像既不关于原点对称也不关于y轴对称。思考：思考2：完成课本页的练习小结：奇偶性定义:对于函数f(x),在它的定义域内，把任意一个x换成-x，(x,-x均在定义域内）①若有f(-x)=-f(x),则f(x)叫做奇函数；②若有f(-x)=f(x),则f(x)叫做偶函数。定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件。性质:奇函数的图象关于原
8、点对称;偶函数的图象关于y轴对称.判断奇偶性方法：图象法，定义法。谢谢大家，再见！
