理科全高三理数第12讲定积分教师版——刘勉.docx

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1、第12讲定积分1.定积分的概念如果函数在区间上连续，用分点，把等分成n个小区间，在每个小区间上任取一点(i=1,2,⋯,n)作和式，当n→∞时，上述和式趋近于一个常数，这个常数叫做函数在区间上的定积分，记作。这里分别叫做定积分下限和定积分上限。叫做被积区间，函数叫做被积函数，x叫做被积变量，叫做被积式。2.定积分的几何意义：表示由直线，曲线及x轴所围成的曲边多边形的面积的代数和。3.定积分的性质：（1）（k为常数）；（2）；（3）（a

2、又称牛—莱公式，为简便，常把记作，即：==。5.常见积分表：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）。例1计算下列定积分：（1）；（2）；（3）；解析（1）；（2）；（3）.例2求曲线y=ex，y=e-x及直线x=1所围成图形的面积.解析两条曲线y=ex，y=e-x的交点为(0,1)，故所求面积.例3计算：（1）a0（a+x）2dx；（2）ee-1x-1xdx；（3）2-24-x2dx解析（1）利用积分表求原函数；（2）根据积分基本性质分段求积分；（5）利用定积分的几何意义，求出半圆的面积，即得积分的值。答案：（1）；（2）；（3

3、）。例4给出以下命题：（1）若f(x)是连续的奇函数，则a-afxdx=0；（2）若f(x)是连续的偶函数，则a-afxdx=2a0fxdx；（3）若f(x)是区间a,b上的连续函数，且恒为正，则bafxdx>0；（4）若f(x)在区间a,b上连续，且bafxdx>0，则f(x)在a,b上恒为正。其中正确命题的序号为（1）（2）（3）。例5设fx=ax+b，且1-1f2xdx=1，求fa的取值范围.解析∴，由可得：，∴，，故的取值范围是。例6过曲线C：y=3x2x≥0上一点Aa,b（0

4、1所围成的图形的面积，S2是曲线C与直线l及直线x=0所围成的图形的面积.（1）求切线l的方程（用a表示）；（2）用a表示S1和S2；（3）若27S2=S1，求a的值。解析（1）；（2）；（3）。A1.将和式的极限表示成定积分（B）A．B．C．D．2.下列等于1的积分是（C）A．B．C．D．3.曲线，所围成的图形的面积可用定积分表示为　　　　．4.计算下列定积分：（1）；（2）；（3）.解：（1）；（2）；（3）.B1.=（C）A．B．C．D．2.已知自由落体运动的速率，则落体运动从到所走的路程为（C）A．B．C．D．3.计算定积分．解：．4.求曲线与

5、轴所围成的图形的面积．解：。5.求由抛物线（a＞0）与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值.解：设焦点弦所在直线的方程为x=my+a，抛物线与焦点弦的交点纵坐标为y1，y2（y1＞y2），∴易得y1+y2=4am，y1y2=-4a2，，∴，∴当m=0时，S取最小值。C1.如果1N力能拉长弹簧1cm，为将弹簧拉长6cm，所耗费的功是（A）A．0.18B．0.26C．0.12D．0.282.由及轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为　　．3.设y=f（x）是二次函数,方程f（x）=0有两个相等的实根，且f′（x）=2x+2.（1）求y=

6、f（x）的表达式；（2）求y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积.解：（1）f(x)=x2+2x+1；（2）。4.在区间上给定曲线，如图所示，试在此区间内确定点的值，使图中的阴影部分的面积与之和最小．解：面积等于边长为与的矩形面积去掉曲线与轴，直线围成的面积，即的面积等于曲线与轴，，围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别为，，即．所以阴影部分面积为：，由，得，或．经验证知，当时，最小．1.曲线与坐标周围成的面积（D）A．4B．2C．D．32.=（D）A．B．2eC．D．3.计算：（1）2-2x2-xdx；（2）2π0sinθdx.解：（1）；（2）

7、4。1.求由围成的曲边梯形的面积时，若选择x为积分变量，则积分区间为（B）A．［0，］B．［0，2］　C．［1，2］　D．［0，1］2.由直线，及x轴围成平面图形的面积为（C）A．　B．　C．　D．3.若，，则与的大小关系是（A）A．B．C．D．无法确定4.由曲线和轴围成图形的面积等于．给出下列结果：①；②；③；④．则等于（D）A．①③B．③④C．②③D．②④5.等于（C）A．B．C．D．6.，则的最大值是（B）A．1B．2C．D．07.若是一次函数，且，，那么的值是______________．8.计算下列定积分的值：（1）；（2）；（3）；（4）。

8、解：（1）；（2）；（3）；（4）。