线性代数 课后习题答案 总主编 邹庭荣 主编 李仁所 张洪谦 第4章矩阵的对角化与二次型的化简习题解答.doc

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1、习题44-1.设有一个特征值2，求的一个特征值．解若的特征值为，则的特征值为，计算得.4-2.设是3阶方阵，已知方阵，，都不可逆，求的全部特征值．解由，，都不可逆，知，即，,得的特征值为．4-3.已知矩阵的特征值为，，求．解由特征值的性质知，即，所以．4-4.求下列矩阵的特征值及对应的线性无关的特征向量．若可以对角化，求出可逆矩阵，使为对角矩阵：（1）．解由特征方程,解得矩阵的特征值.对于特征值，解方程组，即，得基础解系，所以矩阵对应于特征值的线性无关的特征向量为．对应于特征值，解方程组，即，得基础解系，所以矩阵的对应于特征值的线性无关的特征向

2、量为．对应于特征值，解方程组，即，得基础解系，所以矩阵的对应于特征值的线性无关的特征向量为．有3个线性无关的特征向量，，，所以可以对角化．令，则可逆，且有．（2）解由特征方程,解得矩阵的特征值．对应于特征值，解方程组，即，得基础解系，所以矩阵的对应于特征值的线性无关的特征向量为．对于特征值，解方程组，即，得基础解系，所以矩阵对应于特征值的线性无关的特征向量为．只有2个线性无关的特征向量，所以不可对角化．（3）．解由特征方程,解得矩阵的特征值．对应于特征值，解方程组，即，得基础解系，，所以矩阵的对应于特征值的线性无关的特征向量为，.对于特征值，解

3、方程组，即，得基础解系，所以矩阵对应于特征值的线性无关的特征向量为．有3个线性无关的特征向量，所以可以对角化，令，则可逆，且有．4-5.判断下列矩阵是否为正交矩阵：（1）．解令，由于，所以不是正交矩阵．（2）．解因为，故是正交矩阵．4-6.求正交矩阵，使为对角形矩阵：（1）．解由特征方程为，得的特征值为．对于，解方程组，即，得属于特征值的一个特征向量，将标准化，得.对于，解方程组，即，得属于特征值的一个极大线性无关特征向量组，,将正交化，得，，将标准化，得，，令，则为正交矩阵，且有．（2）．解由特征方程为，得的特征值为．对于，解方程组，即，得属

4、于特征值的线性无关的特征向量为，已正交只须将单位化，得，；对于，解方程组，即，得属于特征值的线性无关特征向量，将单位化，得.对于，解方程组，即，得属于特征值的线性无关特征向量，将单位化，得，令，则为正交矩阵，且有.4-7.用正交变换化下列二次型为标准形式：（1）.解二次型的系数矩阵为，矩阵的特征方程为，故的特征值为．对于，解方程组，即，得属于特征值的一个特征向量，将标准化，得.对于，解方程组，即，得属于特征值的一个特征向量，将标准化，得.对于，解方程组，即，得属于特征值的一个特征向量，将标准化，得.令，则通过正交变换即可将二次型化为标准形式.（

5、2）.解二次型的系数矩阵为，矩阵的特征方程为，故的特征值为．对于，解方程组，即，得属于特征值的一个特征向量，将标准化，得.对于，解方程组，即，得属于特征值的一个特征向量，将标准化，得.对于，解方程组，即，得属于特征值的一个特征向量，将标准化，得.对于，解方程组，即，得属于特征值的一个特征向量，将标准化，得.令，则通过正交变换即可将二次型化为标准形式.（3）．解二次型的系数矩阵为，矩阵的特征方程为，故的特征值为．对于，解方程组，即,得属于特征值的线性无关的特征向量为，，，将正交化，得，，，将正交化，得，，.对于，解方程组，即，得属于特征值的一个特

6、征向量，将标准化，得.令，则通过正交变换即可将二次型化为标准形式.4-8.试证：如果为正定矩阵，则也是正定矩阵．证因为为正定矩阵，则为是实对称矩阵，而，所以也是对称矩阵.设的特征值为，则的特征值为因为为正定矩阵，所以，故，从而知也是正定矩阵.4-9.判别下列二次型是否正定或负定：（1）.解二次型的系数矩阵为，二次型的三个顺序主子式，所以二次型是正定的.（2）.解二次型的系数矩阵为，二次型的三个顺序主子式，所以二次型是负定的.（3）.解二次型的系数矩阵为，二次型的四个顺序主子式所以二次型是不定的.（4）.解二次型的系数矩阵为，二次型的四个顺序主子

7、式,,所以二次型正定的.（5）．解二次型的系数矩阵为，二次型的三个顺序主子式，所以二次型是负定的.4-10．求的值，使二次型是正定的．解二次型的系数矩阵为，二次型正定的充要条件是它的四个顺序主子式都大于零，即,解联立不等式,得，即当时，正定.4-11．写出下列二次型的矩阵形式，并求该二次型的秩.（1）.解二次型的系数矩阵为,因为，所以该二次型的秩等于2．（2）.解二次型的系数矩阵为,因为，所以该二次型的秩等于４．补充题B4-1．设方阵满足，证明：的特征值只能是或1．证因为方阵满足，即，所以的特征值满足，即，所以，的特征值为或．B4-2．证明：对

8、称的正交矩阵的特征值为1或．证因为是正交矩阵，所以．又因为是对称矩阵，所以.所以满足，即，从而的特征值满足，故的特征值为1或．B4-3．设方阵与方阵=