镜像法-高中物理竞赛讲义.doc

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1、《镜像法》15，15镜像法思路用假想的镜像电荷代替边界上的感应电荷。保持求解区域中场方程和边界条件不变。使用范围：界面几何形状较规范，电荷个数有限，且离散分布于有限区域。使用范围界面几何形状较规范，电荷个数有限，且离散分布于有限区域。步骤确定镜像电荷的大小和位置。去掉界面，按原电荷和镜像电荷求解所求区域场。求解边界上的感应电荷。求解电场力。平面镜像1点电荷对平面的镜像(a)无限大接地导体平面上方有点电荷q（b）用镜像电荷-q代替导体平面上方的感应电荷图4.4.1点电荷的平面镜像在无限大接地导体平面（YOZ平面）上方有一点电荷q，距离导体平面的高度为h。用位于导体平面下方h处的镜像电荷-q代替导

2、体平面上的感应电荷，边界条件维持不变，即YOZ平面为零电位面。去掉导体平面，用原电荷和镜像电荷求解导体上方区域场，注意不能用原电荷和镜像电荷求解导体下方区域场。《镜像法》15，15电位：   (4.4.2.1)电场强度：      (4.4.2.2)其中，感应电荷：=>       (4.4.2.3)电场力：       (4.4.2.4)图4.4.2点电荷的平面镜像图4.4.3单导线的平面镜像 无限长单导线对平面的镜像与地面平行的极长的单导线，半径为a，离地高度为h。《镜像法》15，15用位于地面下方h处的镜像单导线代替地面上的感应电荷，边界条件维持不变。将地面取消而代之以镜像单导线（所带电

3、荷的电荷密度为）电位：       (4.4.2.5)对地电容：       (4.4.2.6平面镜像2无限长均匀双线传输线对平面的镜像与地面平行的均匀双线传输线，半径为a，离地高度为h，导线间距离为d，导线一带正电荷+，导线二带负电荷-。用位于地面下方h处的镜像双导线代替地面上的感应电荷，边界条件维持不变。将地面取消而代之以镜像双导线。图4.4.4无限长均匀传输线对地面的镜像求解电位：       (4.4.2.8)       (4.4.2.9)《镜像法》15，15平行导线间单位长度电容：    (4.4.2.10)其中小天线的镜像与地面的小天线，长度为l，离地高度为h。用位于地面下方h处

4、的镜像小天线代替地面上的感应电荷，边界条件维持不变。与自由空间的天线比较，当天线离平面很近时，若天线与平面平行，辐射功率为零，若天线与平面垂直，辐射功率增强。若天线与平面倾斜放置，则辐射功率的变化与倾斜角度有关。具体辐射功率的计算请参看天线辐射（超链），此处仅给出思路和结论。点电荷对相交接地平面的镜像条件：两相交接地平面夹角为，n=1,2,3…镜像电荷：2n-1个。若两相交接地平面夹角不满足上述条件，则镜像电荷为无穷多个。图4.4.5点电荷对相交接地地面的镜像点电荷对介质平面的镜像1区和2区为不同介质，求解时要分区域考虑。求解区1的场：在区2置镜像电荷。求解区2的场：在区1置镜像电荷。《镜像法

5、》15，15图4.4.6点电荷对介质平面的镜像求解和：z>0时，       (4.4.2.11)z<0时，       (4.4.2.12)根据边界条件、可以解得       (4.4.2.13)       (4.4.2.14)分区域考虑镜像电荷。求单导线的对地电容《镜像法》15，15求单导线的对地电容。一根极长的单导线与地面平行。导线半径为a，离地高度为h，求单位长度单导线地对地电容。单位长度单导线的对地电容可表示为（式1）。式中为单导线的电位，为地电位（＝0），为导线的线电荷密度。现在需要求出，用镜像法求解。例题图4.9 单位长度单导线的对地电容可表示为（式1）。式中为单导线的电位，为

6、地电位（＝0），为导线的线电荷密度。现在需要求出。令（近似认为均匀分布于导线表面），利用镜像法，将地面取消而代之以镜像单导线（带）。则原地面上方任意点P的电位为（式2）。式中、分别代表镜像单导线及原单导线到P点的垂直距离。由2式可知为。把此式代入1式则得单导线对地电容为（式3）。《镜像法》15，15有了上式，就可以方便地写出平行双导线间的单位长度的电容为（式4）。式中，D为平行双导线间的距离（相当于本题中的2h），a为导线半径。若D>>a，就可以简化为式4的近似式。 掌握如何利用平面镜像法求解典型传输设备的对地电容。球面镜像1点电荷对接地导体球的镜像题目：半径为a的接地导体球，在与球心相据的一

7、点电荷。在导体球内，距离球心处的点处置一镜像电荷来代替导体球上的感应电荷，边界条件维持不变，即导体球面为零电位面。去掉导体球，用原电荷和镜像电荷求解导体球外区域场，注意不能用原电荷和镜像电荷求解导体球内区域场。求解镜像电荷的大小和位置：将原导体球移去，及像电荷在原球面上任一点P处产生的电位应为零，即       (4.4.3.1)图4.4.7点电荷对接地导体球的镜像我们在球面上取通过的直径的两端点