2013-数理统计复习题.doc

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1、补充内容§2参数的点估计例2.1设总体服从泊松分布X~P(l)，X1,X2,…,Xn为来自X的样本，求l的矩估计量与的极大似然估计。　　解因E(X)=l，D(X)=l.。所以l的矩估计量为或。X~P(l)，其分布律为=，x=0,1,2,¼　　设x1,x2,…,xn为样本观察值，则似然函数=　　令，解得l的极大似然估计。　　例2.2设总体X的概率密度函数为,其中为未知参数，X1,X2,…,Xn为来自X的样本，试求的矩估计与极大似然估计。　　解因为　　令，解得q的矩估计量为。似然函数，　　令解得的极大似然估计练习题2.1从一批电

2、子元件中抽取8个进行寿命测验,得到如下数据(单位:h):105011001130,1040,1250,1300,1200,1080试对这批元件的平均寿命以及寿命分布的标准差给出矩估计.2.2设X1,X2,…,Xn是容量为n的样本，试分别求总体未知参数的矩估计量与极大似然估计量。已知总体的分布密度如下：　　　(1)f(x;a)=(a+1)xa,0

3、，14.8，15.2，15.1若该天产品直径的方差s2=0.06，求该天生产的滚珠平均直径μ的置信区间(a=0.01;a=0.05)。　　解因为s2=0.06，由式(2.2.2)知m的1-a的置信区间为。　　当a=0.01时，查正态分布表得=2.58，计算得将s2=0.06,n=6,u0.005=2.58，代入上述置信区间，得m的99%置信区间为(14.95-,14.95+)=(14.69,15.21)　　当a=0.05时，查正态分布表得=1.96，类似求得m的95%的置信区间为(14.75，15.15)。例3.2水体中的污

4、水和工业污染的多少会通过减少水中被溶解的氧气而影响水体的水质，生物的生长与生存有赖于正中氧气。两个月内，从污水处理厂下游1英里处的一条小河里取得8个水样。检测水样里溶解的氧气含量，数据列表2.2.1。表2.2.1水样12345678n氧(ppm)5.14.95.64.24.84.55.35.28根据最近的研究，为了保证鱼的生存，水中溶解的氧气的平均含量需达到百万分之五，即5.0ppm.试求两个月期间平均氧气含量的95%的置信区间(假定样本来自正态总体)。　　解s2未知,所以由式(2.2.3)知m的1-a置信区间为，由已知n=

5、8，1-a=0.95，查附表2得t0.025(7)=2.3646，由样本计算得=4.95，S=0.45，故m的1-a的置信区间为(4.78，5.12)。例3.3从自动机床加工的同类零件中随机地抽取10件测得其长度值为(单位:mm)12.15,12.12,12.10,12.28,12.09,12.16,12.03,12.01,12.06,12.11.假定样本来自正态总体，试求方差s2的95%的置信区间。　　解已知a=0.05，查附表3得,,又由已知数据算得S=0.076,于是,，所以，方差s2的95%的置信区间是=[0.003

6、,0.019]。练习题2.3某乡农民在联产承包责任制前，人均纯收入X~N(300,252)(单位：元)，推行联产承包责任制后，在该乡抽得n=16的样本得元，假设没有变化，试确定μ的95%的置信区间。2.4为了估计一分钟一次广告的平均费用，抽取了15个电台作为一个简单随机样本，算得样本均值元，样本标准差S=416。假定一分钟一次的广告费X~N(m,s2)，试求m的0.95的置信区间.2.51990年在某市调查14户城镇居民，得平均户人均购买食用植物油为标准差为S=1.67kg。假设人均食用植物油量，求(1)总体均值m的95%的

7、置信区间；(2)总体方差的90%的置信区间。§4参数假设检验　例4.1正常人的脉搏平均每分钟72次，某医生测得10例四乙基铅中毒患者的脉搏数(次/分)如下54，67，68，78，70，66，67，65，69，70已知人的脉搏次数服从正态分布，试问四乙基铅中毒患者的脉搏和正常人的脉搏有无显著差异？(a=0.05)　　解以X表示脉搏次数，依题意设X~N(m,s2)(s2未知)，要检验假设H0：m=72，H1：m¹72。　　由式(3.2)知H0的拒绝域为　　由样本算得查表故拒绝H0，认为乙基铅中毒患者的脉搏和正常人的脉搏有显著差异

8、。　　例4.3某工厂生产的保健饮料中游离氨基酸含量(mg/100ml)在正常情况下服从正态分布N(200,252)。某生产日抽测了6个样品，得数据如下：205，170，185，210，230，190试问这一天生产的产品游离氨基酸含量的总方差是否正常。　　解建立原假设H0：　　由a=0.05